Questão 16. Um anel
é dito booleano quando
para todo
.
(a) Mostre que a característica de
é 2 .
(b) Mostre que
para todo
.
(c) Mostre que
é anel comutativo.
(a) Mostre que a característica de
(b) Mostre que
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado define um anel
como booleano quando
Precisamos mostrar:
(a) a característica de é
;
(b) para todo , vale
;
(c) a partir disso, concluir que é comutativo.
Vamos usar a expansão binomial em e em
, explorando a idempotência
.
(a) a característica de
(b) para todo
(c) a partir disso, concluir que
Vamos usar a expansão binomial em
Passo 2
Para (a), pegue um elemento arbitrário
. Pela idempotência,
Por outro lado, expandindo pelo binômio de Newton e usando distributividade,
Logo,
Subtraindo
de ambos os lados em
obtemos
para todo
. Isso significa que o número
vezes qualquer elemento é zero, logo a característica de
divide
e, em um anel não trivial com unidade, deve ser exatamente
.
Passo 3
Para (b), tome
. Novamente a idempotência garante
Expansão e uso de
,
dão
Comparando com
e subtraindo
de ambos os lados resulta
Passo 4
Como
, concluímos
Mas em característica
temos
. Portanto
isto é,
é comutativo.
Resposta
(a)
.
(b) para todos
.
(c) Logo é comutativo.
(b)
(c) Logo