Questão 15

Suponha que uma professora tenha constatado que, de seus vinte alunos, treze já haviam visitado o museu da cidade e quinze já haviam visitado o planetário. Nesse caso, o menor número possível de alunos que já visitaram tanto o museu quanto o planetário é
(A) 0 .
(A) 8 .
(B) 7 .
(C) 5 .
(D) 2 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz uma pergunta clara:
  • \,20\, alunos no total.
  • \,13\, alunos já visitaram o museu.
  • \,15\, alunos já visitaram o planetário.
  • Pergunta: qual é o menor número possível de alunos que já visitaram tanto o museu quanto o planetário?

Passo 2

Vamos introduzir notação para ficar organizado:
  • Seja N o número total de alunos; então \,N=20.
  • Seja |M| o número de alunos que visitaram o museu; então \,|M|=13.
  • Seja |P| o número de alunos que visitaram o planetário; então \,|P|=15.
  • Seja x o número de alunos que visitaram ambos; ou seja, x=|M\cap P|. É esse x que queremos minimizar.

Passo 3

Usamos a fórmula da união de dois conjuntos (fórmula de inclusão-exclusão):
|M\cup P| = |M| + |P| - |M\cap P|.
Aqui |M\cup P| é o número de alunos que visitaram pelo menos um dos dois locais. Essa quantidade não pode exceder o total de alunos, então
|M\cup P| \le N.

Passo 4

Substituindo a fórmula da união na desigualdade e isolando x obtemos:
|M| + |P| - x \le N
-x \le N - (|M| + |P|)
x \ge |M| + |P| - N.
Essa desigualdade diz exatamente o limite inferior para o número de alunos que visitaram ambos.

Passo 5

Agora substituímos os números dados:
x \ge 13 + 15 - 20 = 8.
Portanto pelo cálculo, pelo menos \,8\, alunos devem ter visitado ambos.

Passo 6

Para ter certeza de que esse mínimo é atingível (ou seja, que não é só uma barreira impossível), construímos um exemplo: suponha que \,8\, alunos visitaram ambos; então os que visitaram só o museu são 13-8=5 e os que visitaram só o planetário são 15-8=7. O total de alunos distintos seria 5+7+8=20, que coincide com o número total. Logo esse arranjo é possível, e o valor mínimo realmente é \,8\,.

Resposta

8

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