Questão 15
Suponha que uma professora tenha constatado que, de seus vinte alunos, treze já haviam visitado o museu da cidade e quinze já haviam visitado o planetário. Nesse caso, o menor número possível de alunos que já visitaram tanto o museu quanto o planetário é
(A) 0 .
(A) 8 .
(B) 7 .
(C) 5 .
(D) 2 .
(A) 0 .
(A) 8 .
(B) 7 .
(C) 5 .
(D) 2 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz uma pergunta clara:
- Há
alunos no total. -
alunos já visitaram o museu. -
alunos já visitaram o planetário. - Pergunta: qual é o menor número possível de alunos que já visitaram tanto o museu quanto o planetário?
Passo 2
Vamos introduzir notação para ficar organizado:
- Seja
o número total de alunos; então . - Seja
o número de alunos que visitaram o museu; então . - Seja
o número de alunos que visitaram o planetário; então . - Seja
o número de alunos que visitaram ambos; ou seja, . É esse que queremos minimizar.
Passo 3
Usamos a fórmula da união de dois conjuntos (fórmula de inclusão-exclusão):
Aqui
é o número de alunos que visitaram pelo menos um dos dois locais. Essa quantidade não pode exceder o total de alunos, então
Passo 4
Substituindo a fórmula da união na desigualdade e isolando
obtemos:
Essa desigualdade diz exatamente o limite inferior para o número de alunos que visitaram ambos.
Passo 5
Agora substituímos os números dados:
Portanto pelo cálculo, pelo menos
alunos devem ter visitado ambos.
Passo 6
Para ter certeza de que esse mínimo é atingível (ou seja, que não é só uma barreira impossível), construímos um exemplo: suponha que
alunos visitaram ambos; então os que visitaram só o museu são
e os que visitaram só o planetário são
. O total de alunos distintos seria
, que coincide com o número total. Logo esse arranjo é possível, e o valor mínimo realmente é
.
Resposta
8