Questão 11
Uma professora deseja dividir sua turma de 25 alunos em cinco grupos, cada um com cinco alunos, para a realização de um trabalho. Não há distinção entre as atribuições dos alunos em cada grupo, nenhum aluno pode participar de mais de um grupo e nem deixar de participar de algum.
A partir dessa situação hipotética, assinale a opção que corresponde ao número de maneiras distintas de essa divisão ser feita.
A)
A)
B)
!
C) 25 !
D)
A partir dessa situação hipotética, assinale a opção que corresponde ao número de maneiras distintas de essa divisão ser feita.
A)
A)
B)
C) 25 !
D)
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, pegando os números exatamente como estão no enunciado.
- Há
alunos distintos. - A professora quer formar
grupos, cada um com alunos. - Nenhum aluno pode ficar fora ou em mais de um grupo.
- Não há distinção entre as atribuições dos alunos dentro de um grupo (ou seja, a ordem dentro do grupo não importa).
- Os grupos são indistintos entre si (ou seja, trocar o “rótulo” de dois grupos não cria uma divisão nova).
O que o enunciado pede: o número de maneiras distintas de fazer essa divisão (particionamento dos
alunos em cinco blocos de tamanho
, com blocos não ordenados).
Passo 2
Ideia inicial: contar arranjos ordenados e depois eliminar as contagens repetidas.
Primeiro lembrete simples sobre permutações: o número de maneiras de ordenar
objetos distintos é
. Por exemplo, para
alunos
as ordens possíveis são
.
Agora, imagine listar os
alunos em uma fila (todas as permutações possíveis), e então dar os primeiros
dessa fila para o “grupo 1”, os próximos
para o “grupo 2”, e assim por diante até o “grupo 5”. Cada permutação da fila gera uma divisão em cinco blocos ordenados.
O número total de permutações da fila é
.
Passo 3
Correção: muitas permutações diferentes da fila levam à mesma divisão em grupos porque não nos importamos com a ordem interna de cada grupo.
Dentro de cada bloco de
pessoas, a ordem não importa. Para um bloco com
pessoas há
ordens diferentes que representam a mesma escolha de conjunto. Como há
blocos, cada divisão (com grupos rotulados por posição: 1,2,3,4,5) é representada por
permutações diferentes da fila.
Portanto, se os grupos fossem distintos (rotulados), o número de maneiras seria
Essa expressão pode ser vista também como produto de combinações sucessivas:
Passo 4
Agora ajustar pelo fato crucial: os grupos são indistintos (não têm rótulo). Isso significa que a divisão em que os conjuntos são os mesmos, mas permutados entre si, não é nova. Por exemplo, trocar o conteúdo do “grupo 1” com o do “grupo 2” deve ser considerada a mesma divisão.
Quantas vezes cada divisão sem rótulo foi contada na expressão rotulada
? Cada divisão sem rótulo corresponde a todas as permutações dos
rótulos dos grupos, ou seja, a um fator de
. Então precisamos dividir por
para remover esse sobrecontamento.
Aplicando isso, o número final é
Passo 5
Observação didática por reforço com exemplo menor (pra fixar a ideia): dividir
alunos em
grupos de
(grupos indistintos). A fórmula dá
e de fato as partições em pares são
, três possibilidades. Isso mostra que o divisor extra
(aqui
) remove a contagem por permutar os grupos.
Passo 6
Podemos simplificar a notação do resultado:
. Logo a expressão final pode ser escrita de forma compacta como