Questão 11

Uma professora deseja dividir sua turma de 25 alunos em cinco grupos, cada um com cinco alunos, para a realização de um trabalho. Não há distinção entre as atribuições dos alunos em cada grupo, nenhum aluno pode participar de mais de um grupo e nem deixar de participar de algum.
A partir dessa situação hipotética, assinale a opção que corresponde ao número de maneiras distintas de essa divisão ser feita.
A) (5!)^{5}
A) 25!\div(5!)^{5}
B) 25!\div 5 !
C) 25 !
D) 5!\times 5

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, pegando os números exatamente como estão no enunciado.
  • 25 alunos distintos.
  • A professora quer formar 5 grupos, cada um com 5 alunos.
  • Nenhum aluno pode ficar fora ou em mais de um grupo.
  • Não há distinção entre as atribuições dos alunos dentro de um grupo (ou seja, a ordem dentro do grupo não importa).
  • Os grupos são indistintos entre si (ou seja, trocar o “rótulo” de dois grupos não cria uma divisão nova).
O que o enunciado pede: o número de maneiras distintas de fazer essa divisão (particionamento dos 25 alunos em cinco blocos de tamanho 5, com blocos não ordenados).

Passo 2

Ideia inicial: contar arranjos ordenados e depois eliminar as contagens repetidas.
Primeiro lembrete simples sobre permutações: o número de maneiras de ordenar n objetos distintos é n!. Por exemplo, para 3 alunos A,B,C as ordens possíveis são 3!=6.
Agora, imagine listar os 25 alunos em uma fila (todas as permutações possíveis), e então dar os primeiros 5 dessa fila para o “grupo 1”, os próximos 5 para o “grupo 2”, e assim por diante até o “grupo 5”. Cada permutação da fila gera uma divisão em cinco blocos ordenados.
O número total de permutações da fila é 25!.

Passo 3

Correção: muitas permutações diferentes da fila levam à mesma divisão em grupos porque não nos importamos com a ordem interna de cada grupo.
Dentro de cada bloco de 5 pessoas, a ordem não importa. Para um bloco com 5 pessoas há 5! ordens diferentes que representam a mesma escolha de conjunto. Como há 5 blocos, cada divisão (com grupos rotulados por posição: 1,2,3,4,5) é representada por (5!)^{5} permutações diferentes da fila.
Portanto, se os grupos fossem distintos (rotulados), o número de maneiras seria
\frac{25!}{(5!)^{5}}.
Essa expressão pode ser vista também como produto de combinações sucessivas:
\binom{25}{5}\binom{20}{5}\binom{15}{5}\binom{10}{5}\binom{5}{5} = \frac{25!}{5!\,20!}\cdot\frac{20!}{5!\,15!}\cdot\frac{15!}{5!\,10!}\cdot\frac{10!}{5!\,5!}\cdot\frac{5!}{5!\,0!} = \frac{25!}{(5!)^{5}}.

Passo 4

Agora ajustar pelo fato crucial: os grupos são indistintos (não têm rótulo). Isso significa que a divisão em que os conjuntos são os mesmos, mas permutados entre si, não é nova. Por exemplo, trocar o conteúdo do “grupo 1” com o do “grupo 2” deve ser considerada a mesma divisão.
Quantas vezes cada divisão sem rótulo foi contada na expressão rotulada \dfrac{25!}{(5!)^{5}}? Cada divisão sem rótulo corresponde a todas as permutações dos 5 rótulos dos grupos, ou seja, a um fator de 5!. Então precisamos dividir por 5! para remover esse sobrecontamento.
Aplicando isso, o número final é
\frac{1}{5!}\cdot\frac{25!}{(5!)^{5}}=\frac{25!}{(5!)^{5}\,5!}.

Passo 5

Observação didática por reforço com exemplo menor (pra fixar a ideia): dividir 4 alunos em 2 grupos de 2 (grupos indistintos). A fórmula dá
\frac{4!}{(2!)^{2}\,2!}=\frac{24}{4\cdot2}=\frac{24}{8}=3,
e de fato as partições em pares são \{AB,CD\},\{AC,BD\},\{AD,BC\}, três possibilidades. Isso mostra que o divisor extra k! (aqui 2!) remove a contagem por permutar os grupos.

Passo 6

Podemos simplificar a notação do resultado: (5!)^{5}\cdot 5! = (5!)^{6}. Logo a expressão final pode ser escrita de forma compacta como
\frac{25!}{(5!)^{6}}.

Resposta

\dfrac{25!}{(5!)^{6}}

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