Questão 16

Incorreto
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Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas. A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é
Escolha uma opção:
\frac{7!}{4!} \times \frac{6!}{4!}
\left(\frac{7!}{3!\times 4!}+\frac{6!}{2!\times 4!}\right) \times\left(\frac{7!}{4!\times 3!}+\frac{6!}{1!\times 5!}\right) \times\left(\frac{7!}{5!\times 2!}+\frac{6!}{0!\times 6!}\right)
\left(\frac{7!}{3!\times 4!} \times \frac{6!}{2!\times 4!}\right)+\left(\frac{7!}{4!\times 3!} \times \frac{6!}{1!\times 5!}\right)+\left(\frac{7!}{5!\times 2!} \times \frac{6!}{0!\times 6!}\right)
\frac{7!}{3!\times 4!}+\frac{6!}{2!\times 4!}+\frac{5!}{1!\times 4!}{ }^{\times}
\frac{7!}{3!\times 4!} \times \frac{6!}{2!\times 4!}

Passo 1

O enunciado diz que há 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas, e que a equipe terá 5 médicos com pelo menos 3 cardiologistas. Isso é um problema de contagem de combinações, onde usamos
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
para contar de quantas formas escolhemos k elementos de um conjunto de n.

Passo 2

Precisamos repartir a escolha de 5 médicos em casos conforme o número de cardiologistas:
  • Caso 1: 3 cardiologistas e 2 neurologistas.
  • Caso 2: 4 cardiologistas e 1 neurologista.
  • Caso 3: 5 cardiologistas e 0 neurologistas.

Passo 3

No caso 1 escolhemos \binom{7}{3} cardiologistas e \binom{6}{2} neurologistas, gerando
\binom{7}{3}\,\binom{6}{2} = \frac{7!}{3!\,4!}\times\frac{6!}{2!\,4!}.
No caso 2 temos
\binom{7}{4}\,\binom{6}{1} = \frac{7!}{4!\,3!}\times\frac{6!}{1!\,5!},
e no caso 3
\binom{7}{5}\,\binom{6}{0} = \frac{7!}{5!\,2!}\times\frac{6!}{0!\,6!}.

Passo 4

Como esses casos são mutuamente exclusivos, somamos as contagens:
\frac{7!}{3!\,4!}\times\frac{6!}{2!\,4!} \;+\; \frac{7!}{4!\,3!}\times\frac{6!}{1!\,5!} \;+\; \frac{7!}{5!\,2!}\times\frac{6!}{0!\,6!}.

Resposta

\displaystyle \biggl(\frac{7!}{3!\times 4!}\times\frac{6!}{2!\times 4!}\biggr)\;+\;\biggl(\frac{7!}{4!\times 3!}\times\frac{6!}{1!\times 5!}\biggr)\;+\;\biggl(\frac{7!}{5!\times 2!}\times\frac{6!}{0!\times 6!}\biggr)

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