Questão 16 -

Em uma reação nuclear, uma partícula \beta^{-}, cuja massa é 9,31 \cdot 10^{-31} \mathrm{~kg}, é expelida do interior do núcleo e desloca-se em linha reta com uma velocidade escalar de 1,6 \cdot 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo-se que a velocidade escalar da partícula \beta^{-}foi medida com uma incerteza de 2%, são feitas as seguintes afirmativas:
Dado: Constante de Planck \mathrm{h}=6,62 \cdot 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}
I. O comprimento de onda de de Broglie associado a essa partícula \beta^{-}é de aproximadamente 4,4 \cdot 10^{-7} \mathrm{~m}.
II. O núcleo, ao emitir a partícula \beta^{-}, tem seu número atômico diminuído de uma unidade.
III. A incerteza mínima na posição da partícula \beta^{-}é maior ou igual a 18 \times 10^{-9} \mathrm{~m}.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a) somente I.
b) somente II.
c) somente III.
d) I e III.
e) II e III.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula \beta^{-} (elétron) com massa m = 9,31\times10^{-31}\,\mathrm{kg} e velocidade escalar v = 1,6\times10^{5}\,\mathrm{m/s}, cuja medição de v tem incerteza de 2 %. Pede-se verificar:
  1. o comprimento de onda de de Broglie \lambda,
  2. o efeito da emissão \beta^{-} no número atômico do núcleo,
  3. a incerteza mínima \Delta x na posição dada \Delta v = 0,02\,v.
    Usaremos a fórmula \lambda = h/(m\,v) e o princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Calculamos \lambda usando
\lambda = \frac{h}{m\,v},
com h = 6,62\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}. Primeiro o momento:
p = m\,v = 9,31\times10^{-31}\times1,6\times10^{5} = 1,4896\times10^{-25}\,\mathrm{kg\,m/s}.
Logo
\lambda = \frac{6,62\times10^{-34}}{1,4896\times10^{-25}} \approx 4,45\times10^{-9}\,\mathrm{m}.
Portanto, a afirmativa I, que dizia \lambda\approx4,4\times10^{-7}\,\mathrm{m}, está incorreta.

Passo 3

Na emissão \beta^{-}, um nêutron do núcleo se transforma em próton + elétron + antineutrino. Isso faz o número atômico Z aumentar em 1 (pois há um próton a mais). Logo, a afirmativa II, que dizia que Z diminui de uma unidade, está incorreta.

Passo 4

Para a incerteza mínima na posição, usamos o princípio de Heisenberg:
\Delta x \,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
onde \hbar = h/(2\pi) = 1,055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}. Como \Delta v = 0,02\,v = 3,2\times10^{3}\,\mathrm{m/s}, temos
\Delta p = m\,\Delta v = 9,31\times10^{-31}\times3,2\times10^{3} = 2,98\times10^{-27}\,\mathrm{kg\,m/s}.
Então
\Delta x_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta p} = \frac{1,055\times10^{-34}}{2\times2,98\times10^{-27}} \approx 1,77\times10^{-8}\,\mathrm{m} = 17,7\times10^{-9}\,\mathrm{m}.
Isso confirma que \Delta x\gtrsim18\times10^{-9}\,\mathrm{m}, então a afirmativa III está correta.

Resposta

c) somente III.

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