Questão 16. Resolver as integrais usando métodos adequados:
integral x ln (1+1x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
I = integral x ,ln!l(1+tfrac1xr),dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, além de manipular uma fração simples para finalizar a integral que surgir.

Passo 2

Escolhemos em integral u,dv
u = ln!l(1+tfrac1xr), dv = x,dx
Então
du = ddxl[ln(1+x^-1)r],dx = -1x(x+1),dx, v = integral x,dx = x^22

Passo 3

Aplicando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
obtemos
I = x^22,ln!l(1+tfrac1xr) - integral x^22,l(-1x(x+1)r),dx = x^22,ln!l(1+tfrac1xr) + 12integral xx+1,dx

Passo 4

Para finalizar a integral restante, fazemos divisão de polinômios em
xx+1 = 1 - 1x+1
Logo
integral xx+1,dx = integral l(1 - 1x+1r),dx = x - lnl|x+1r| + C1
Multiplicando por 1/2
12integral xx+1,dx = x2 - 12lnl|x+1r| + C2

Passo 5

Reunindo tudo, a primitiva geral é
I = x^22,ln!l(1+tfrac1xr) + x2 - 12lnl|x+1r| + C

Resposta

boxed integral x ,ln!l(1+tfrac1xr),dx = x^22,ln!l(1+tfrac1xr) + x2 - 12lnl|x+1r| + C

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