QUESTÃO 160

Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.
Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
(A) 10 \times 9 \times 8
(B) 20 \times 18 \times 16
(C) 20 \times 19 \times 18
(D) 10 \times 9 \times 8 \times 2
(E) 20 \times 18 \times 16 \times 2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • São 10 casais, portanto 20 pessoas no total.
  • Será formada uma diretoria com 3 cargos distintos: presidente, secretário e tesoureiro.
  • Restrição importante: no máximo uma pessoa por casal pode ocupar cargo (ou seja, não podem estar na diretoria dois membros do mesmo casal).
  • O que se pede: o número de diretorias diferentes possíveis obedecendo a essa regra. “Diretoria” aqui leva em conta os cargos (ordem importa: trocar presidente por secretário gera diretoria diferente).

Passo 2

Entender o tipo de contagem que vamos usar — ordem e restrição por casal.
  • Como os cargos são distintos, estamos contando arranjos ordenados de 3 pessoas escolhidas entre os 20, com a restrição “no máximo uma por casal”.
  • Se não houvesse restrição “um por casal”, o número de maneiras seria simplesmente
20 \times 19 \times 18,
pois são 20 escolhas para presidente, depois 19 para secretário, depois 18 para tesoureiro.
  • Mas a restrição elimina algumas dessas sequências: ao escolher uma pessoa, o cônjuge dela fica proibido.

Passo 3

Método direto (passo a passo de escolhas respeitando a restrição).
  • Primeiro escolhe-se o presidente: há 20 opções.
  • Depois de escolher o presidente, a pessoa escolhida já não está mais disponível e, além disso, o cônjuge dessa pessoa também não pode ser escolhido. Então do total de 20 pessoas, dois já ficam indisponíveis, sobrando 20-2=18 pessoas elegíveis para secretário.
  • Após escolher presidente e secretário (que pertencem a casais diferentes por construção), ficam indisponíveis os 4 indivíduos correspondentes aos dois casais já escolhidos; portanto sobram 20-4=16 pessoas elegíveis para o cargo de tesoureiro.
  • Multiplicando as opções em cada etapa (princípio multiplicativo):
20\times18\times16.
  • Calculemos o produto:
20\times18=360, \qquad 360\times16=5760.
Portanto esse raciocínio dá 5760 diretorias possíveis.

Passo 4

Método equivalente (escolher casais e depois membros e posições) — isso ajuda a entender a razão do fator 2 por casal e a ordem dos cargos.
  • Passo 1: escolher quais 3 casais, de um total de 10, vão fornecer os dirigentes. O número de maneiras de escolher 3 casais entre 10 (a ordem dos casais nessa escolha não importa) é a combinação
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}.
  • Calculemos de forma prática:
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.
  • Passo 2: de cada um desses 3 casais escolhidos, é preciso escolher qual dos 2 membros ocupará o cargo. Para cada casal há 2 escolhas independentes, então no total há 2^3=8 escolhas de membros.
  • Passo 3: depois de escolher os três indivíduos (um de cada casal), é preciso atribuir os 3 cargos distintos entre eles; isso equivale a permutar os 3 escolhidos em 3! maneiras, ou seja 3!=6.
  • Multiplicando:
\binom{10}{3}\times 2^3 \times 3! = 120\times 8\times 6.
  • Vamos calcular passo a passo:
120\times 8 = 960, \qquad 960\times 6 = 5760.
  • Resultado coincide com o método direto: 5760.

Passo 5

Comentando as alternativas e por que algumas parecem plausíveis mas estão incorretas.
  • \;20\times19\times18 é a contagem sem restrição de casais; esse valor seria maior e não respeita “no máximo uma por casal”.
  • \;20\times18\times16 (opção (B)) é exatamente o que obtivemos ao aplicar a restrição passo a passo, portanto é a correta.
  • As alternativas com fator 2 a mais (como \;20\times18\times16\times2) contariam cada diretoria duas vezes por algum motivo inválido; não há esse fator adicional no problema.

Passo 6

Resumo didático rápido do conceito usado (para você repetir na prova):
  • Quando cargos são distintos, conta-se escolhas ordenadas (produto sequencial).
  • Se uma escolha proíbe outras opções (aqui, proíbe o cônjuge), reduza o número de opções nas etapas seguintes conforme a restrição.
  • Alternativa útil: escolher grupos de casais primeiro (combinação), escolher que membro de cada casal (potência de 2) e permutar nas posições ( k!). Ambas estratégias dão o mesmo resultado e é bom saber as duas para usar a que ficar mais rápida na prova.

Resposta

(B) 20\times18\times16=5760

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