QUESTÃO 160
Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.
Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- São
casais, portanto pessoas no total. - Será formada uma diretoria com
cargos distintos: presidente, secretário e tesoureiro. - Restrição importante: no máximo uma pessoa por casal pode ocupar cargo (ou seja, não podem estar na diretoria dois membros do mesmo casal).
- O que se pede: o número de diretorias diferentes possíveis obedecendo a essa regra. “Diretoria” aqui leva em conta os cargos (ordem importa: trocar presidente por secretário gera diretoria diferente).
Passo 2
Entender o tipo de contagem que vamos usar — ordem e restrição por casal.
- Como os cargos são distintos, estamos contando arranjos ordenados de
pessoas escolhidas entre os , com a restrição “no máximo uma por casal”. - Se não houvesse restrição “um por casal”, o número de maneiras seria simplesmente
pois são
escolhas para presidente, depois
para secretário, depois
para tesoureiro.
- Mas a restrição elimina algumas dessas sequências: ao escolher uma pessoa, o cônjuge dela fica proibido.
Passo 3
Método direto (passo a passo de escolhas respeitando a restrição).
- Primeiro escolhe-se o presidente: há
opções. - Depois de escolher o presidente, a pessoa escolhida já não está mais disponível e, além disso, o cônjuge dessa pessoa também não pode ser escolhido. Então do total de
pessoas, dois já ficam indisponíveis, sobrando pessoas elegíveis para secretário. - Após escolher presidente e secretário (que pertencem a casais diferentes por construção), ficam indisponíveis os 4 indivíduos correspondentes aos dois casais já escolhidos; portanto sobram
pessoas elegíveis para o cargo de tesoureiro. - Multiplicando as opções em cada etapa (princípio multiplicativo):
- Calculemos o produto:
Portanto esse raciocínio dá
diretorias possíveis.
Passo 4
Método equivalente (escolher casais e depois membros e posições) — isso ajuda a entender a razão do fator
por casal e a ordem dos cargos.
- Passo 1: escolher quais
casais, de um total de , vão fornecer os dirigentes. O número de maneiras de escolher casais entre (a ordem dos casais nessa escolha não importa) é a combinação
- Calculemos de forma prática:
- Passo 2: de cada um desses
casais escolhidos, é preciso escolher qual dos membros ocupará o cargo. Para cada casal há escolhas independentes, então no total há escolhas de membros. - Passo 3: depois de escolher os três indivíduos (um de cada casal), é preciso atribuir os
cargos distintos entre eles; isso equivale a permutar os escolhidos em maneiras, ou seja . - Multiplicando:
- Vamos calcular passo a passo:
- Resultado coincide com o método direto:
.
Passo 5
Comentando as alternativas e por que algumas parecem plausíveis mas estão incorretas.
-
é a contagem sem restrição de casais; esse valor seria maior e não respeita “no máximo uma por casal”. -
(opção (B)) é exatamente o que obtivemos ao aplicar a restrição passo a passo, portanto é a correta. - As alternativas com fator
a mais (como ) contariam cada diretoria duas vezes por algum motivo inválido; não há esse fator adicional no problema.
Passo 6
Resumo didático rápido do conceito usado (para você repetir na prova):
- Quando cargos são distintos, conta-se escolhas ordenadas (produto sequencial).
- Se uma escolha proíbe outras opções (aqui, proíbe o cônjuge), reduza o número de opções nas etapas seguintes conforme a restrição.
- Alternativa útil: escolher grupos de casais primeiro (combinação), escolher que membro de cada casal (potência de
) e permutar nas posições ( ). Ambas estratégias dão o mesmo resultado e é bom saber as duas para usar a que ficar mais rápida na prova.
Resposta
(B)