Questão 17 - No ano de 1947, o químico Willard Libby fez uma descoberta revolucionária na área da Arqueologia, a partir de seus estudos seria possível decifrar a idade de fósseis antigos. A quantidade de carbono 14, dos tecidos orgânicos mortos diminui a um ritmo constante com o passar do tempo. Quando um ser vivo morre, a absorção cessa, mas o carbon 14 continua se desintegrando. Sabe-se que sua meia vida é 5730 anos. A quantidade de carbono 14 em um organismo que morreu à t anos é dado pela função exponencial:
h(t)=h_{0}(1 / 2)^{\frac{t}{5730}}
onde h_{0} é a quantidade de carbono 14 em organismos vivos. Observe que o quociente \frac{h(t)}{h_{0}} expressa a porcentagem de carbono 14 na amostra. Suponha que uma ossada humana foi encontrada cujo percentual de carbono 14 era de 85 \%. Usando a datação do carbono 14, determine, aproximadamente, há quanto tempo essa ossada estava enterrada?

Passo 1

O enunciado trata do decaimento exponencial do carbono-14, cuja meia-vida é de 5730 anos, descrito por
h(t)=h_{0}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{t}{5730}}
onde h_{0} é a quantidade de carbono-14 em vivo. Como o quociente \frac{h(t)}{h_{0}} é a fração restante, queremos achar t tal que essa fração seja 85\%, ou seja, 0,85.

Passo 2

Escrevemos a equação que relaciona a porcentagem medida com o modelo:
\frac{h(t)}{h_{0}} = 0,85 = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{t}{5730}}

Passo 3

Para resolver para t, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados. Assim temos
\ln(0,85) = \frac{t}{5730}\,\ln\!\Bigl(\tfrac12\Bigr).

Passo 4

Isolando t, obtemos
t = 5730 \,\frac{\ln(0,85)}{\ln\bigl(\tfrac12\bigr)}.

Passo 5

Agora basta calcular numericamente. Sabendo que
\ln(0,85)\approx -0,1625 \quad\text{e}\quad \ln\Bigl(\tfrac12\Bigr) = -\ln(2)\approx -0,6931,
temos
\frac{\ln(0,85)}{\ln(\tfrac12)}\approx \frac{-0,1625}{-0,6931}\approx 0,2345
e portanto
t \approx 5730\times 0,2345 \approx 1344,6\text{ anos}.

Resposta

A ossada estava enterrada há aproximadamente 1345 anos.

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