Questão 17. Calcule \int f(x) d x onde f é dada abaixo:
f(x)=\frac{x^{4}}{\left(x^{3}+x\right)\left(x^{2}-x+3\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int f(x)\,dx,
onde
f(x)=\frac{x^{4}}{\bigl(x^{3}+x\bigr)\bigl(x^{2}-x+3\bigr)}.
O conteúdo é decomposição em frações parciais envolvendo quadráticos irreduzíveis, além de integrar razões onde surgem logaritmos e arctangentes.

Passo 2

Primeiro simplificamos o denominador:
x^{3}+x = x\,(x^{2}+1),
então
f(x)=\frac{x^{4}}{x\,(x^{2}+1)\,(x^{2}-x+3)} =\frac{x^{3}}{(x^{2}+1)(x^{2}-x+3)}.

Passo 3

Fazemos a decomposição
\frac{x^{3}}{(x^{2}+1)(x^{2}-x+3)} =\frac{A x+B}{x^{2}+1}+\frac{C x+D}{x^{2}-x+3}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}-x+3) e igualando coeficientes de x^{3},x^{2},x,1, obtemos o sistema:
\begin{cases} A+C=1,\\\\ -\,A+B+D=0,\\\\ 3A - B + C=0,\\\\ 3B + D=0. \end{cases}
Resolvendo, achamos
A=-\tfrac{2}{5},\quad B=\tfrac{1}{5},\quad C=\tfrac{7}{5},\quad D=-\tfrac{3}{5}.

Passo 4

Assim
\frac{x^{3}}{(x^{2}+1)(x^{2}-x+3)} =-\tfrac{2}{5}\,\frac{x}{x^{2}+1} +\tfrac{1}{5}\,\frac{1}{x^{2}+1} +\tfrac{7}{5}\,\frac{x}{x^{2}-x+3} -\tfrac{3}{5}\,\frac{1}{x^{2}-x+3}.
Integramos cada parcela:
  1. \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\tfrac12\ln(x^{2}+1).
  2. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x.
  3. Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}-x+3}\,dx, escrevemos
    x=\tfrac12\bigl(2x-1\bigr)+\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{x}{x^{2}-x+3}\,dx =\tfrac12\int\frac{2x-1}{x^{2}-x+3}\,dx +\tfrac12\int\frac{1}{x^{2}-x+3}\,dx.
    A primeira parte dá \tfrac12\ln(x^{2}-x+3).
  4. Para \displaystyle \int\frac{1}{x^{2}-x+3}\,dx, completamos o quadrado:
    x^{2}-x+3=(x-\tfrac12)^{2}+\tfrac{11}{4},
    logo
    \int\frac{1}{x^{2}-x+3}\,dx =\int\frac{1}{(x-\tfrac12)^{2}+(\frac{\sqrt{11}}{2})^{2}}\,dx =\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan\!\biggl(\frac{2x-1}{\sqrt{11}}\biggr).

Passo 5

Reunindo tudo com os coeficientes, obtemos
\int f(x)\,dx =-\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac12\ln(x^{2}+1) +\tfrac{1}{5}\arctan x +\tfrac{7}{5}\Bigl[\tfrac12\ln(x^{2}-x+3) +\tfrac12\cdot\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt{11}}\bigr)\Bigr] -\tfrac{3}{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt{11}}\bigr).
Simplificando:
\int f(x)\,dx =-\tfrac{1}{5}\ln(x^{2}+1) +\tfrac{7}{10}\ln(x^{2}-x+3) +\tfrac{1}{5}\arctan x +\frac{1}{5\sqrt{11}}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt{11}}\bigr) + C.

Resposta

\int f(x)\,dx =-\frac{1}{5}\ln(x^{2}+1) +\frac{7}{10}\ln(x^{2}-x+3) +\frac{1}{5}\arctan x +\frac{1}{5\sqrt{11}}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt{11}}\Bigr) + C.

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