Questão 17. Calcule \int f(x) d x onde f é dada abaixo:
f(x)=\frac{1}{x^{6}-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \int \frac{1}{x^{6}-x^{3}}\,dx. Observe que
x^{6}-x^{3}=x^{3}(x^{3}-1)
e, portanto, vamos usar decomposição em frações parciais para escrever
\frac{1}{x^{3}(x^{3}-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x^{3}}+\frac{D}{x-1}+\frac{Ex+F}{x^{2}+x+1}.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por x^{3}(x^{3}-1)=x^{3}(x-1)(x^{2}+x+1)\) e igualando coeficientes, obtemos o sistema \[\begin{cases} -C=1,\\\\ -B=0,\\\\ -A=0,\\\ A+D+E=0,\\\ B+D+F-E=0,\\\ C+D-F=0. \end{cases}
Daí C=-1\], \(B=0, A=0.
Resolviendo os três últimos dá D=\tfrac13, E=-\tfrac13, F=-\tfrac23.
Logo a decomposição final é
\frac{1}{x^{3}(x^{3}-1)} =-\frac{1}{x^{3}} +\frac{1}{3}\,\frac{1}{x-1} -\frac{1}{3}\,\frac{x+2}{x^{2}+x+1}.

Passo 3

Agora escrevemos a integral como soma de três integrais mais simples:
\int f(x)\,dx =\int \Bigl(-x^{-3}\Bigr)\,dx +\tfrac13\int\frac{1}{x-1}\,dx -\tfrac13\int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx.
As duas primeiras são imediatas:
\int -x^{-3}\,dx =\frac{1}{2x^{2}}, \quad \tfrac13\int\frac{1}{x-1}\,dx =\tfrac13\ln\lvert x-1\rvert.

Passo 4

Falta \displaystyle \int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx. Escrevemos
x+2 =\tfrac12(2x+1)+\tfrac32,
logo
\int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx =\tfrac12\int\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx +\tfrac32\int\frac{1}{x^{2}+x+1}\,dx.
A primeira parte é \tfrac12\ln(x^{2}+x+1).
Para a segunda completamos o quadrado:
x^{2}+x+1=\Bigl(x+\tfrac12\Bigr)^{2}+\tfrac34,
então
\int\frac{1}{x^{2}+x+1}\,dx =\frac{2}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\tfrac{2x+1}{\sqrt3}\Bigr).
Somando os dois pedaços:
\int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx =\tfrac12\ln(x^{2}+x+1) +\sqrt3\arctan\!\Bigl(\tfrac{2x+1}{\sqrt3}\Bigr).
Multiplicando por -\tfrac13 temos
-\tfrac13\int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx =-\tfrac16\ln(x^{2}+x+1) -\frac{\sqrt3}{3}\arctan\!\Bigl(\tfrac{2x+1}{\sqrt3}\Bigr).

Passo 5

Juntando tudo, a primitiva geral é
F(x) =\frac{1}{2x^{2}} +\tfrac13\ln\lvert x-1\rvert -\tfrac16\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr) -\frac{\sqrt3}{3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigr) +C.

Resposta

\boxed{\,\int \frac{1}{x^{6}-x^{3}}\,dx =\frac{1}{2x^{2}} +\tfrac13\ln\lvert x-1\rvert -\tfrac16\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr) -\frac{\sqrt3}{3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigr) +C.}

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