Questão 17. Calcule \int f(x) d x onde f é dada abaixo:
f(x)=\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+3 e^{x}+2}

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+3e^x+2}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional em e^x. Vamos usar a substituição
t = e^x,\quad dt = e^x\,dx
para transformar em integral de uma razão de polinômios, e então aplicar frações parciais.

Passo 2

Fazendo t=e^x temos dx = \frac{dt}{t} e
e^{2x}\,dx = t^2\frac{dt}{t} = t\,dt, \quad e^{2x}+3e^x+2 = t^2+3t+2.
Logo a integral vira
\int \frac{t}{t^2+3t+2}\,dt.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{t}{t^2+3t+2} = \frac{t}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}.
Multiplicando por (t+1)(t+2) obtemos
t = A(t+2) + B(t+1) = (A+B)\,t + (2A+B).
Comparando coeficientes:
A+B = 1, \quad 2A + B = 0
resolve-se A=-1, B=2. Assim
\frac{t}{t^2+3t+2} = -\frac1{t+1} + \frac{2}{t+2}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \frac{t}{t^2+3t+2}\,dt = \int \Bigl(-\frac1{t+1} + \frac{2}{t+2}\Bigr)\,dt = -\ln\lvert t+1\rvert + 2\ln\lvert t+2\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável x com t=e^x:
-\ln\bigl(e^x+1\bigr) + 2\ln\bigl(e^x+2\bigr) + C.
Opcionalmente, podemos combinar os logaritmos:
\ln\frac{(e^x+2)^2}{e^x+1} + C.

Resposta

\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+3e^x+2}\,dx = -\ln\bigl(e^x+1\bigr) + 2\ln\bigl(e^x+2\bigr) + C.

Exercícios relacionados