Questão 17. Calcule \int f(x) d x onde f é dada abaixo:
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral indefinida
\int f(x)\,dx
onde
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}}.
O conteúdo é uma função racional, e vamos usar decomposição algébrica e integrais básicas do tipo \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx e substituição.

Passo 2

Observe que
x^{2}+x+1 = (x^{2}+1) + x,
então
\frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}} + \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{x^{2}+1} + \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

A integral se separa em duas partes:
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx \quad+\quad \int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
A primeira é clássica e vale
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x).

Passo 4

Para a segunda, faça a substituição u = x^{2}+1, então du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \tfrac12\,du. Assim,
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot \frac12\,du = \frac12\int u^{-2}\,du = \frac12\bigl(-u^{-1}\bigr) = -\frac{1}{2(x^{2}+1)}.

Passo 5

Somando os resultados obtemos
\int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \arctan(x) \;-\; \frac{1}{2(x^{2}+1)} + C.

Resposta

\displaystyle \arctan(x) - \frac{1}{2(x^{2}+1)} + C

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