Questão 17 -

Um ar-condicionado de ambiente é um motor térmico operado de forma reversa. Uma quantidade de calor Q2 é absorvida do ambiente a uma temperatura T_{2} pelas serpentinas que contêm um gás de trabalho. O gás é comprimido adiabaticamente até a temperatura externa \mathrm{T}_{1}. Em seguida, o gás é comprimido isotermicamente na unidade externa ao ambiente, liberando uma quantidade de calor \mathrm{Q}_{1}. O gás se expande adiabaticamente de volta à temperatura T_{2}, e o ciclo se repete. O motor elétrico consome uma potência P.
Sabendo que o calor flui para dentro do ambiente a uma taxa constante de k \Delta T, onde k é uma constante e \Delta T é a diferença de temperatura entre o exterior e o interior do ambiente. Pode-se afirmar que a menor temperatura possível do ambiente, em termos de T_{1}, k e P, é:
a) \mathrm{T}_{1}-\mathrm{kP}\left[\sqrt{1+\frac{2 \mathrm{kT}}{\mathrm{P}}}-1\right].
b) \mathrm{T}_{1}-\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{k}}\left[\sqrt{1+\frac{2 \mathrm{kT}}{\mathrm{P}}}-1\right].
c) \mathrm{T}_{1}-\mathrm{kP}\left[\sqrt{1+\frac{4 \mathrm{kT}_{1}}{\mathrm{P}}}-1\right].
d) \mathrm{T}_{1}-\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{k}}\left[\sqrt{1+\frac{4 \mathrm{kT}_{1}}{\mathrm{P}}}-1\right].
e) T_{1}-\frac{P}{k}\left[\sqrt{1+\frac{k T_{1}}{P}}-1\right].

Passo 1

O enunciado descreve um ar-condicionado operando como ciclo de Carnot reverso entre a temperatura interna T_{2} (ambiente a ser resfriado) e a externa T_{1}. O motor consome potência P. Há uma entrada de calor por infiltração, que flui do exterior para o interior à taxa constante k\,(T_{1}-T_{2}). Queremos achar a menor temperatura interna T_{2} em regime estacionário, em função de T_{1}, k e P.

Passo 2

Para o ciclo reverso de Carnot temos coeficiente de desempenho (COP) dado por
\mathrm{COP}=\frac{Q_{2}}{P}=\frac{T_{2}}{T_{1}-T_{2}},
onde Q_{2} é o calor extraído do interior por unidade de tempo.

Passo 3

Como o calor que entra no ambiente (a resfriar) por infiltração deve ser removido pelo ciclo, temos
Q_{2}=k\,(T_{1}-T_{2}).

Passo 4

Da definição de COP obtemos
Q_{2}=P\,\frac{T_{2}}{T_{1}-T_{2}}.
Igualando às perdas por infiltração:
k\,(T_{1}-T_{2})=P\,\frac{T_{2}}{T_{1}-T_{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (T_{1}-T_{2}) resulta na equação quadrática
k\,(T_{1}-T_{2})^{2}=P\,T_{2}.

Passo 5

Expandindo e rearranjando obtemos
k\,T_{2}^{2}-\bigl(2k\,T_{1}+P\bigr)T_{2}+k\,T_{1}^{2}=0.
A solução física de menor T_{2} vem da fórmula de Bhaskara com o sinal “−” na raiz:
T_{2} =\frac{2k\,T_{1}+P-\sqrt{P^{2}+4P\,k\,T_{1}}}{2k} =T_{1}-\frac{P}{2k}\Bigl[\sqrt{1+\frac{4k\,T_{1}}{P}}-1\Bigr].

Resposta

d) \displaystyle T_{1}-\frac{P}{k}\Bigl[\sqrt{1+\frac{4\,k\,T_{1}}{P}}-1\Bigr].

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