Questão 18 -

Um condutor na forma de um cilindro de comprimento L e seção transversal de raio r está conectado a uma célula que fornece uma ddp U. A resistividade do material do condutor é \rho e não varia com a temperatura. A emissividade da superfície curva do condutor é \varepsilon. Tome a emissividade das superfícies circulares planas como zero. No estado estacionário, a temperatura do condutor é T quando a temperatura ambiente é T_{0}. A diferença entre T e T_{0} é muito menor que a temperatura ambiente. A temperatura T desse condutor é dada corretamente por:
Dados: a constante de Stefan-Boltzmann é \sigma.
a) T=T_{0}+\frac{r U^{2}}{\varepsilon \sigma \rho L^{2} T_{0}}.
b) T=T_{0}+\frac{r U^{2}}{\varepsilon \sigma \rho L^{2} T_{0}^{3}}.
c) \mathrm{T}=\mathrm{T}_{0}+\frac{3 \mathrm{rU}^{2}}{8 \varepsilon \sigma \rho \mathrm{~L}^{2} \mathrm{~T}_{0}^{3}}.
d) T=T_{0}+\frac{r U^{2}}{2 \varepsilon \sigma \rho L^{2} T_{0}^{3}}.
e) T=T_{0}+\frac{r U^{2}}{8 \varepsilon \sigma \rho L^{2} T_{0}^{3}}.

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico de comprimento L e raio r ligado a uma ddp U. O material tem resistividade \rho e emissividade da superfície curva \varepsilon. No equilíbrio térmico, a potência dissipada por efeito Joule é irradiada pela superfície lateral segundo a lei de Stefan–Boltzmann, e a diferença \Delta T=T-T_{0} é pequena \Delta T\ll T_{0}. Vamos usar a fórmula da potência elétrica e a lei de radiação, mais a expansão de T^{4}-T_{0}^{4} para pequena \Delta T.

Passo 2

A resistência do cilindro é
R = \frac{\rho\,L}{\pi\,r^{2}},
logo a potência elétrica gerada por efeito Joule é
P_{\text{Joule}} = \frac{U^{2}}{R} = \frac{U^{2}\,\pi\,r^{2}}{\rho\,L}.

Passo 3

A potência irradiada pela superfície lateral (área A=2\pi rL) é
P_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T^{4}-T_{0}^{4}) = \varepsilon\,\sigma\,(2\pi rL)\,(T^{4}-T_{0}^{4}).

Passo 4

No estado estacionário P_{\text{Joule}}=P_{\text{rad}}, então
\frac{U^{2}\,\pi\,r^{2}}{\rho\,L} = 2\pi\,\varepsilon\,\sigma\,r\,L\,(T^{4}-T_{0}^{4}).
Cancelando \pi\,r e isolando a diferença de potências termodinâmicas, obtemos
T^{4}-T_{0}^{4} = \frac{U^{2}\,r}{2\,\varepsilon\,\sigma\,\rho\,L^{2}}.

Passo 5

Como \Delta T=T-T_{0} é pequena, usamos a expansão de Taylor
T^{4}-T_{0}^{4}\approx 4\,T_{0}^{3}\,(T-T_{0}).
Substituindo na equação anterior,
4\,T_{0}^{3}\,(T-T_{0}) = \frac{U^{2}\,r}{2\,\varepsilon\,\sigma\,\rho\,L^{2}} \quad\Longrightarrow\quad T-T_{0} = \frac{U^{2}\,r}{8\,\varepsilon\,\sigma\,\rho\,L^{2}\,T_{0}^{3}}.

Resposta

T = T_{0} + \frac{r\,U^{2}}{8\,\varepsilon\,\sigma\,\rho\,L^{2}\,T_{0}^{3}},
que corresponde à alternativa (e).

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