Questão 17. Determine o número de permutações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, nas quais nem o 4 ocupa o 4o lugar, nem o 6 ocupa o 6^{\circ} lugar.

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações de \{1,2,3,4,5,6\} em que o elemento 4 não vai na 4ª posição e o elemento 6 não vai na 6ª posição. O conteúdo principal é o princípio da inclusão-exclusão para contar permutações com proibições de posições fixas.

Passo 2

Primeiro, o total de permutações de 6 elementos é
6! = 720.

Passo 3

Definimos dois eventos indesejados:
A = 4 está na 4ª posição”
B = 6 está na 6ª posição”
Queremos então
\bigl| (A\cup B)^c \bigr| = 6! - \bigl|A\cup B\bigr|
e vamos usar
\bigl|A\cup B\bigr| = |A| + |B| - |A\cap B|.

Passo 4

Calculamos os tamanhos:
– Se 4 está fixo na 4ª posição, permutam-se os outros 5 elementos livremente, logo
|A| = 5! = 120.
– Analogamente,
|B| = 5! = 120.
– Se fixamos simultaneamente 4 na posição 4 e 6 na posição 6, permutam-se os outros 4 elementos, dando
|A\cap B| = 4! = 24.

Passo 5

Aplicando inclusão-exclusão:
\bigl|A\cup B\bigr| = 120 + 120 - 24 = 216,
portanto o número desejado é
6! - |A\cup B| = 720 - 216 = 504.

Resposta

504

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