QUESTÃO 17
Emanuel jogou simultaneamente dois dados enumerados de 1 a 6 de modo a ler o número obtido na face superior de cada dado. Com base nisto, julgue as proposições.
I. A quantidade de elementos que compõe o
conjunto universo é 12 .
II. A probabilidade de obter números iguais é
.
III. A probabilidade de obter números maiores que 4 é
.
Está(ão) correta(s) apenas a(s) proposição(ões):
A) I
B) II
C) I e II
D) I e III
E) II e III
I. A quantidade de elementos que compõe o
conjunto universo é 12 .
II. A probabilidade de obter números iguais é
III. A probabilidade de obter números maiores que 4 é
A) I
B) II
C) I e II
D) I e III
E) II e III
Passo 1
O enunciado diz que Emanuel lançou simultaneamente dois dados numerados de
a
e leu o número superior de cada dado. Pede-se julgar as três proposições abaixo:
I. A quantidade de elementos que compõe o conjunto universo é .
II. A probabilidade de obter números iguais é .
III. A probabilidade de obter números maiores que é
.
I. A quantidade de elementos que compõe o conjunto universo é
II. A probabilidade de obter números iguais é
III. A probabilidade de obter números maiores que
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Cada dado tem
faces com os números . - Os dois dados foram lançados simultaneamente (ou seja, observamos um par de resultados, um para cada dado).
- Precisamos decidir se cada proposição I, II e III está correta ou incorreta.
Passo 2
Vamos entender quantos resultados possíveis existem quando lançamos dois dados distintos. Cada dado individualmente pode dar
resultados. Quando são dois dados e consideramos o resultado de cada um (por exemplo, primeiro dado e segundo dado), os resultados possíveis são todos os pares ordenados
com
e
.
A regra de contagem que usamos aqui é: se um experimento tem
possibilidades e outro independente tem
possibilidades, juntos têm
possibilidades. Aplicando:
Portanto o conjunto universo (espaço amostral) tem
elementos, não
.
Conclusão sobre I: a proposição I é falsa.
Passo 3
Antes de calcular probabilidades, vamos lembrar a definição básica de probabilidade em espaços equiprováveis: se o espaço amostral tem
resultados igualmente prováveis e há
resultados favoráveis ao evento, então
Aqui
. Vamos aplicar essa fórmula aos eventos das proposições II e III.
Passo 4
Proposição II: “A probabilidade de obter números iguais é
.”
O evento “números iguais” significa obter
,
,
,
,
,
. São exatamente
resultados favoráveis.
Usando a fórmula:
Portanto a proposição II é verdadeira.
Passo 5
Proposição III: “A probabilidade de obter números maiores que
é
.”
Primeiro precisamos interpretar corretamente o evento. A afirmação escrita sugere (para coincidir com
) que o evento considerado é que ambos os números obtidos sejam maiores que
, ou seja, que cada dado mostre
ou
. Vou calcular para esse caso.
Cada dado tem exatamente
faces maiores que
:
e
. Assim, o número de resultados favoráveis onde ambos os dados são maiores que
é
pois podemos escolher
ou
para o primeiro dado e
ou
para o segundo, formando os pares
.
Aplicando a fórmula da probabilidade:
Logo, se interpretarmos a proposição como "ambos os números obtidos são maiores que
", então a proposição III é verdadeira.
Observação didática (útil para a prova): se alguém interpretasse "obter números maiores que
" como "obter pelo menos um número maior que
" então o cálculo seria diferente. Nesse caso:
que não é
. Portanto a única interpretação que torna a proposição III igual a
é a de "ambos maiores que
".
Passo 6
Resumo das verdades:
- I é falsa (espaço amostral tem
elementos, não ). - II é verdadeira (
). - III é verdadeira sob a interpretação "ambos maiores que
" ( ).
Portanto as proposições corretas são II e III.
Resposta
E) II e III