QUESTÃO 17

Emanuel jogou simultaneamente dois dados enumerados de 1 a 6 de modo a ler o número obtido na face superior de cada dado. Com base nisto, julgue as proposições.
I. A quantidade de elementos que compõe o
conjunto universo é 12 .
II. A probabilidade de obter números iguais é 1 / 6.
III. A probabilidade de obter números maiores que 4 é 1 / 9.
Está(ão) correta(s) apenas a(s) proposição(ões):
A) I
B) II
C) I e II
D) I e III
E) II e III

Passo 1

O enunciado diz que Emanuel lançou simultaneamente dois dados numerados de 1 a 6 e leu o número superior de cada dado. Pede-se julgar as três proposições abaixo:
I. A quantidade de elementos que compõe o conjunto universo é 12.
II. A probabilidade de obter números iguais é \tfrac{1}{6}.
III. A probabilidade de obter números maiores que 4 é \tfrac{1}{9}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Cada dado tem 6 faces com os números 1,2,3,4,5,6.
  • Os dois dados foram lançados simultaneamente (ou seja, observamos um par de resultados, um para cada dado).
  • Precisamos decidir se cada proposição I, II e III está correta ou incorreta.

Passo 2

Vamos entender quantos resultados possíveis existem quando lançamos dois dados distintos. Cada dado individualmente pode dar 6 resultados. Quando são dois dados e consideramos o resultado de cada um (por exemplo, primeiro dado e segundo dado), os resultados possíveis são todos os pares ordenados (a,b) com a\in\{1,\dots,6\} e b\in\{1,\dots,6\}.
A regra de contagem que usamos aqui é: se um experimento tem m possibilidades e outro independente tem n possibilidades, juntos têm m\cdot n possibilidades. Aplicando:
\text{tamanho do espaço amostral} = 6\cdot 6 = 36.ç
Portanto o conjunto universo (espaço amostral) tem 36 elementos, não 12.
Conclusão sobre I: a proposição I é falsa.

Passo 3

Antes de calcular probabilidades, vamos lembrar a definição básica de probabilidade em espaços equiprováveis: se o espaço amostral tem |\Omega| resultados igualmente prováveis e há f resultados favoráveis ao evento, então
\mathbb{P}(\text{evento})=\frac{f}{|\Omega|}.
Aqui |\Omega|=36. Vamos aplicar essa fórmula aos eventos das proposições II e III.

Passo 4

Proposição II: “A probabilidade de obter números iguais é \tfrac{1}{6}.”
O evento “números iguais” significa obter (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). São exatamente 6 resultados favoráveis.
Usando a fórmula:
\mathbb{P}(\text{iguais})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.
Portanto a proposição II é verdadeira.

Passo 5

Proposição III: “A probabilidade de obter números maiores que 4 é \tfrac{1}{9}.”
Primeiro precisamos interpretar corretamente o evento. A afirmação escrita sugere (para coincidir com \tfrac{1}{9}) que o evento considerado é que ambos os números obtidos sejam maiores que 4, ou seja, que cada dado mostre 5 ou 6. Vou calcular para esse caso.
Cada dado tem exatamente 2 faces maiores que 4: 5 e 6. Assim, o número de resultados favoráveis onde ambos os dados são maiores que 4 é
2\cdot 2 = 4,
pois podemos escolher 5 ou 6 para o primeiro dado e 5 ou 6 para o segundo, formando os pares (5,5),(5,6),(6,5),(6,6).
Aplicando a fórmula da probabilidade:
\mathbb{P}(\text{ambos}>4)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}.
Logo, se interpretarmos a proposição como "ambos os números obtidos são maiores que 4", então a proposição III é verdadeira.
Observação didática (útil para a prova): se alguém interpretasse "obter números maiores que 4" como "obter pelo menos um número maior que 4" então o cálculo seria diferente. Nesse caso:
\mathbb{P}(\text{pelo menos um}>4)=1-\mathbb{P}(\text{nenhum}>4)=1-\left(\frac{4}{6}\cdot\frac{4}{6}\right)=1-\frac{16}{36}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9},
que não é \tfrac{1}{9}. Portanto a única interpretação que torna a proposição III igual a \tfrac{1}{9} é a de "ambos maiores que 4".

Passo 6

Resumo das verdades:
  • I é falsa (espaço amostral tem 36 elementos, não 12).
  • II é verdadeira ( \mathbb{P}(\text{iguais})=\tfrac{1}{6}).
  • III é verdadeira sob a interpretação "ambos maiores que 4" ( \mathbb{P}=\tfrac{1}{9}).
Portanto as proposições corretas são II e III.

Resposta

E) II e III

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