QUESTÃO 18

Sejam as igualdades:
a) 4^{w}=1
b) 4^{x}+2^{x}=20
c) m=2^{80}
Julgue as proposições com bases nas informações “a”, “b” e “c”.
I. O valor de x é um número primo.
II. O valor de w é um número negativo.
III. A metade de m é 2{ }^{40}.
Está(ão) correta(s) apenas a(s) proposição(ões):
A) I
B) II
C) III
D) I e II
E) II e III

Passo 1

O enunciado dá três igualdades e pede que julguemos as proposições I, II e III com base nelas. As informações dadas são:
4^{w}=1
4^{x}+2^{x}=20
m=2^{80}
As proposições a verificar são:
I. O valor de x é um número primo.
II. O valor de w é um número negativo.
III. A metade de m é 2^{40}.

Passo 2

Analisando a igualdade \;4^{w}=1\;. Aqui usamos a propriedade básica de potências: para qualquer base real positiva diferente de 1, temos
a^{0}=1.
Especificamente, como 4>0 e 4\neq1, a única potência de 4 que dá 1 é a potência com expoente 0. Portanto
w=0.
Explicando devagar: a função 4^{t} (para t real) é sempre positiva e atinge o valor 1 somente em t=0. Logo não há outro w real além de 0 que satisfaça \;4^{w}=1.

Passo 3

Agora verifico a proposição II (que afirma que w é negativo). Como acabamos de obter \;w=0\;, vemos que w não é negativo (nem positivo): é exatamente zero. Logo a proposição II é falsa.

Passo 4

Analisando a igualdade \;4^{x}+2^{x}=20\;. Primeiro faço uma mudança que simplifica: escrevo 4^{x} em termos de 2, porque 4=(2)^{2}. Assim
4^{x}=(2^{2})^{x}=2^{2x}.
Faço a substituição \;y=2^{x}\;. Observação: \;y=2^{x}\; é sempre positivo para x real, então ao resolver a equação devo rejeitar raízes não positivas. Com essa substituição a equação vira
y^{2}+y-20=0,
que é uma equação quadrática em y.

Passo 5

Resolvo a quadrática \;y^{2}+y-20=0\;. Uso a fórmula das raízes ou fatoração: o discriminante é
\Delta = 1^{2}-4\cdot 1\cdot(-20)=1+80=81.
As raízes são
y=\frac{-1\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{-1\pm 9}{2}.
Portanto as soluções para y são
y_{1}=\frac{-1+9}{2}=\frac{8}{2}=4
e
y_{2}=\frac{-1-9}{2}=\frac{-10}{2}=-5.
Como y=2^{x}>0, a raiz negativa y_{2}=-5 não é admissível. Logo somente y=4 vale.

Passo 6

Volto de y para x. Temos 2^{x}=y=4. Escrevo 4 como potência de 2: 4=2^{2}. Assim
2^{x}=2^{2}\quad\Rightarrow\quad x=2.
Agora verifico a proposição I, que diz “o valor de x é um número primo”. O número que encontramos é \;x=2\;. Pela definição: um número primo é um inteiro maior que 1 que só tem divisores 1 e ele mesmo. O número 2 é primo (é o menor primo e o único primo par). Portanto a proposição I é verdadeira.

Passo 7

Analisando a igualdade \;m=2^{80}\; e a proposição III, que afirma que “a metade de m é 2^{40}”. Para dividir potências com mesma base usamos a regra
\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}.
A metade de m é m/2. Escrevo 2 como 2^{1}. Então
\frac{m}{2}=\frac{2^{80}}{2}=\frac{2^{80}}{2^{1}}=2^{80-1}=2^{79}.
Como 2^{79}\neq 2^{40}, a afirmação III é falsa. (Exemplo concreto para fixar: metade de 2^{8} é 2^{7}, não 2^{4}.)

Passo 8

Resumindo os resultados que obtivemos:
I é verdadeira ( x=2, que é primo).
II é falsa ( w=0, não negativo).
III é falsa (metade de 2^{80} é 2^{79}, não 2^{40}).

Resposta

A) I

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