QUESTÃO 18
Sejam as igualdades:
a)
b)
c)
Julgue as proposições com bases nas informações “a”, “b” e “c”.
I. O valor de x é um número primo.
II. O valor de w é um número negativo.
III. A metade de m é
.
Está(ão) correta(s) apenas a(s) proposição(ões):
A) I
B) II
C) III
D) I e II
E) II e III
a)
b)
c)
I. O valor de x é um número primo.
II. O valor de w é um número negativo.
III. A metade de m é
A) I
B) II
C) III
D) I e II
E) II e III
Passo 1
O enunciado dá três igualdades e pede que julguemos as proposições I, II e III com base nelas. As informações dadas são:
As proposições a verificar são:
I. O valor de é um número primo.
II. O valor de é um número negativo.
III. A metade de é
.
I. O valor de
II. O valor de
III. A metade de
Passo 2
Analisando a igualdade
. Aqui usamos a propriedade básica de potências: para qualquer base real positiva diferente de
, temos
Especificamente, como
e
, a única potência de
que dá
é a potência com expoente
. Portanto
Explicando devagar: a função
(para
real) é sempre positiva e atinge o valor
somente em
. Logo não há outro
real além de
que satisfaça
.
Passo 3
Agora verifico a proposição II (que afirma que
é negativo). Como acabamos de obter
, vemos que
não é negativo (nem positivo): é exatamente zero. Logo a proposição II é falsa.
Passo 4
Analisando a igualdade
. Primeiro faço uma mudança que simplifica: escrevo
em termos de
, porque
. Assim
Faço a substituição
. Observação:
é sempre positivo para
real, então ao resolver a equação devo rejeitar raízes não positivas. Com essa substituição a equação vira
que é uma equação quadrática em
.
Passo 5
Resolvo a quadrática
. Uso a fórmula das raízes ou fatoração: o discriminante é
As raízes são
Portanto as soluções para
são
e
Como
, a raiz negativa
não é admissível. Logo somente
vale.
Passo 6
Volto de
para
. Temos
. Escrevo
como potência de
:
. Assim
Agora verifico a proposição I, que diz “o valor de
é um número primo”. O número que encontramos é
. Pela definição: um número primo é um inteiro maior que
que só tem divisores
e ele mesmo. O número
é primo (é o menor primo e o único primo par). Portanto a proposição I é verdadeira.
Passo 7
Analisando a igualdade
e a proposição III, que afirma que “a metade de
é
”. Para dividir potências com mesma base usamos a regra
A metade de
é
. Escrevo
como
. Então
Como
, a afirmação III é falsa. (Exemplo concreto para fixar: metade de
é
, não
.)
Passo 8
Resumindo os resultados que obtivemos:
I é verdadeira ( , que é primo).
II é falsa ( , não negativo).
III é falsa (metade de é
, não
).
I é verdadeira (
II é falsa (
III é falsa (metade de
Resposta
A) I