QUESTÃO 20

O estudo de matriz é muito útil para organizar dados de forma sistemática. O determinante, por sua vez, é um número associado a uma matriz quadrada. Considere as matrizes a seguir e julgue as proposições.
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 3 & 2 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{array}\right] \text { e } B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
I. A matriz B é uma matriz diagonal.
II. A matriz B é uma matriz identidade.
III. O determinante da matriz B é nulo.
IV. O determinante da matriz A é nulo.
Estão corretas apenas as proposições:
A) II e III
B) II e IV
C) III e IV
D) I, II e IV
E) I, II, III e IV

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes e pede para julgar quatro proposições sobre elas. As matrizes fornecidas são:
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 3 & 2 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{array}\right]
B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
As proposições a analisar são:
I. A matriz B é uma matriz diagonal.
II. A matriz B é uma matriz identidade.
III. O determinante da matriz B é nulo.
IV. O determinante da matriz A é nulo.

Passo 2

Definição e verificação de matriz diagonal (para a proposição I).
Uma matriz é chamada de matriz diagonal se todos os seus elementos fora da diagonal principal são iguais a zero; ou seja, para uma matriz M=(m_{ij}), ela é diagonal se m_{ij}=0 sempre que i\neq j. Observando a matriz B:
B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right],
todos os elementos com i\neq j são 0. Portanto, B satisfaz a definição de matriz diagonal. Conclusão: a proposição I é verdadeira.

Passo 3

Definição e verificação de matriz identidade (para a proposição II).
Uma matriz identidade I_n de ordem n é a matriz quadrada que tem 1s na diagonal principal e 0s em todas as outras posições. A matriz B apresentada tem exatamente 1s na diagonal e 0s fora dela (veja B acima). Logo, B é a matriz identidade I_3. Conclusão: a proposição II é verdadeira.

Passo 4

Determinante de uma matriz diagonal/identidade (para a proposição III).
Propriedade importante: o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da sua diagonal principal. Em particular, para a matriz identidade I_n com diagonal composta por 1s, tem-se
\det(I_n)=1\cdot 1\cdots 1 = 1.
Aplicando isso a B=I_3, obtemos \det(B)=1. Portanto, o determinante de B não é nulo. Conclusão: a proposição III é falsa.

Passo 5

Por que uma linha (ou coluna) nula implica determinante nulo (preparando para a proposição IV).
Fato útil: se uma matriz tem uma linha (ou coluna) composta somente por zeros, então seu determinante é zero. Uma maneira simples de ver isso é usar a expansão de Laplace ao longo dessa linha: todos os coeficientes da linha são zero, então a soma que define o determinante é zero. Outra explicação é que ter uma linha nula implica dependência linear entre as linhas, e matrizes com linhas linearmente dependentes têm determinante zero.

Passo 6

Aplicação ao determinante de A (proposição IV).
Observando a matriz A:
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 3 & 2 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{array}\right],
a segunda linha é (0,0,0,0), ou seja, é uma linha nula. Pelo fato explicado no Passo 5, isso implica que
\det(A)=0.
Portanto, a proposição IV é verdadeira.

Passo 7

Conclusão final sobre as quatro proposições e escolha da alternativa correta.
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
  • IV é verdadeira.
    As proposições verdadeiras são I, II e IV, o que corresponde à alternativa D.

Resposta

D) I, II e IV

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