Questão 1.17 Explorando a teoria sobre mecânica dos fluidos, marque V para verdadeiro ou F para falso, justificando nos casos das falsas. As respostas somente serão consideradas corretas se vierem acompanhadas de justificativas adequadas.
a) ( ) Uma das maneiras de evitar a cavitação é projetando o sistema para que possua pressões sempre maiores que a pressão de saturação dos componentes mais voláteis do fluido.
b) ( ) O módulo de compressibilidade volumétrico é uma propriedade empregada para caracterizar a compressibilidade de fluidos. Quanto maior o valor desta propriedade, mais incompressível é o fluido.
c) ( ) Em escoamento laminar, tem-se fluxos de transmissão de quantidade de movimento maiores que em regime turbulento.
d) ( ) Fluidos que possuem seu comportamento reológico descrito pela equação de Ostwald de Waele são considerados tixotróficos.
e) ( ) Um fluido escoando em regime permanente pode apresentar aceleração total não-nula.
Um determinado fluido não-newtoniano apresenta o seguinte comportamento reológico (tensão x taxa de deformação): \tau\left(\mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}\right)=2+3,5 \dot{\varepsilon}^{1,7}. A respeito deste fluido, pode-se afirmar que:
f) ( ) Trata-se de um plástico de Binghan;
g) ( ) A viscosidade aparente do mesmo vale 3,5 \mathrm{~Pa} \mathrm{~s}^{1,7};
h) ( ) O índice de consistência do escoamento vale 2.

Passo 1

O enunciado pede que eu marque V (verdadeiro) ou F (falso) para as afirmações (a)–(e) e justifique — quando a afirmação for falsa a justificativa é obrigatória, quando for verdadeira também deve haver explicação. Em seguida há uma segunda parte (f)–(h) relacionadas a um fluido não-newtoniano cuja lei experimental é
\tau\left(\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}\right)=2+3{,}5\,\dot{\varepsilon}^{1{,}7},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (Pa) e \dot{\varepsilon} é a taxa de deformação (em \mathrm{s}^{-1}). Para (f)–(h) devo dizer se as frases são verdadeiras ou falsas e justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há oito afirmações a avaliar: (a)–(e) sobre conceitos gerais de mecânica dos fluidos e reologia; (f)–(h) sobre o fluido cuja relação tensão × taxa é dada.
  • A equação fornecida tem um termo constante 2 (unidades Pa) e um termo proporcional a \dot{\varepsilon}^{1{,}7} com coeficiente 3{,}5.

Passo 2

Afirmação (a): “Uma das maneiras de evitar a cavitação é projetando o sistema para que possua pressões sempre maiores que a pressão de saturação dos componentes mais voláteis do fluido.”
Explicação didática: Cavitação ocorre quando, localmente, a pressão do fluido cai abaixo da pressão de vapor (pressão de saturação) do fluido ou de algum componente volátil; bolhas de vapor se formam e depois colapsam, causando danos e perdas de desempenho. A forma mais direta de evitar cavitação é garantir que a pressão está sempre acima da pressão de vapor do fluido em toda a região do escoamento (considerando também quedas locais de pressão, acelerações, perdas por singularidades, etc.). Em projetos práticos costuma-se usar margem de segurança acima da pressão de vapor.
Conclusão: (a) é verdadeira. Justificativa: manter p>p_{\text{vapor}} evita a formação de vapor local (cavitação).

Passo 3

Afirmação (b): “O módulo de compressibilidade volumétrico é uma propriedade empregada para caracterizar a compressibilidade de fluidos. Quanto maior o valor desta propriedade, mais incompressível é o fluido.”
Explicação didática: O módulo volumétrico de compressibilidade (geralmente chamado de módulo de compressibilidade ou módulo de elasticidade volumétrica) é definido por
K \equiv -V\frac{\partial p}{\partial V},
ou equivalente em termos de pressão e densidade. A compressibilidade (β) é o inverso:
\beta=\frac{1}{K}.
Portanto, quanto maior K, menor \beta, ou seja, menos compressível (mais “incompressível”) é o fluido. Exemplo simples: água tem K grande (≈ 2{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}), ar tem K muito menor, logo ar é muito mais compressível que água.
Conclusão: (b) é verdadeira. Justificativa: K grande → \beta pequena → fluido mais incompressível.

Passo 4

Afirmação (c): “Em escoamento laminar, tem-se fluxos de transmissão de quantidade de movimento maiores que em regime turbulento.”
Explicação didática: Transmissão de quantidade de movimento entre camadas de fluido é feita por transporte molecular (viscosidade verdadeira) e, em escoamento turbulento, por transporte turbulento (mistura por redemoinhos) que atua como uma “viscosidade efetiva” muito maior. Em termos práticos, fluxos turbulentos promovem muito maior taxa de transporte de momento (e calor e massa) do que fluxos laminares à mesma geometria e gradientes, devido às flutuações e mistura turbulenta. Um jeito prático de ver: no modelo de Reynolds aparece uma tensão de Reynolds que aumenta o transporte; para uma mesma diferença de velocidade, a transferência é maior em turbulência.
Conclusão: (c) é falsa. Justificativa: em turbulência o transporte de quantidade de movimento é maior (não menor); portanto a afirmação contrária é incorreta.

Passo 5

Afirmação (d): “Fluidos que possuem seu comportamento reológico descrito pela equação de Ostwald de Waele são considerados tixotróficos.”
Explicação didática: A equação de Ostwald-de-Waele (modelo power-law) é
\tau = k\,\dot{\gamma}^{\,n},
onde \tau é a tensão de cisalhamento, \dot{\gamma} (ou \dot{\varepsilon}) é a taxa de cisalhamento, k é o índice de consistência e n é o expoente (índice de fluidez). Este modelo descreve dependência instantânea da tensão com a taxa de deformação — é um modelo de fluido de tempo-independente (ou seja, sem memória temporal). Tixotropia (thixotropy) é um comportamento dependente do tempo: sob cisalhamento contínuo a viscosidade vai diminuindo com o tempo e se recupera quando o esforço cessa. Assim, tixotropia é efeito temporal e NÃO é caracterizada pela simples lei power-law. Fluidos power-law não são necessariamente tixotróficos; são chamados de “fluidos de lei de potência” ou “power-law fluids”.
Conclusão: (d) é falsa. Justificativa: Ostwald-de-Waele descreve dependência com a taxa (tempo-independente); tixotropia é dependência temporal — conceitos diferentes.

Passo 6

Afirmação (e): “Um fluido escoando em regime permanente pode apresentar aceleração total não-nula.”
Explicação didática: A aceleração total (ou aceleração convectiva) de uma partícula fluida é
\mathbf{a}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}.
Regime permanente (steady) significa que \partial\mathbf{v}/\partial t=0 em cada ponto (campos não dependem explicitamente do tempo). Porém o termo convectivo (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} pode ser diferente de zero sempre que a velocidade variar espacialmente (por exemplo, escoamento acelerando numa seção de tubo convergente, ou ao passar por uma curva). Assim é perfeitamente possível ter escoamento permanente com aceleração total não-nula — apenas a parte local (derivada temporal) é zero.
Exemplo concreto: escoamento em um tubo de área variável com vazão constante — partículas aceleram ao entrar em região de área menor; \partial\mathbf{v}/\partial t=0 mas (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\neq0.
Conclusão: (e) é verdadeira. Justificativa: em regime permanente o termo temporal é zero, mas a aceleração convectiva pode ser não-nula.

Passo 7

Agora a parte reológica. Reescrevendo a lei experimental dada:
\tau(\mathrm{Pa})=2+3{,}5\,\dot{\varepsilon}^{1{,}7}.
Interpretação didática dos termos:
  • O termo constante 2 (Pa) comporta-se como uma tensão de escoamento mínima necessária para iniciar o movimento — isto é um termo similar a uma tensão de cedência (yield stress) \tau_0.
  • O segundo termo tem a forma k\,\dot{\varepsilon}^{n} com k=3{,}5 e n=1{,}7. Isso é exatamente a parte power-law da lei de potência.
    Portanto a relação é da forma conhecida como modelo de Herschel–Bulkley:
\tau=\tau_0 + k\,\dot{\varepsilon}^n,
com \tau_0=2\\ \mathrm{Pa}, k=3{,}5 (unidades a verificar) e n=1{,}7.
Observação sobre unidades de k: Para que k\,\dot{\varepsilon}^n tenha unidades de Pa, k deve ter unidades \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}^{n}. Aqui n=1{,}7, então k tem unidades \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}^{1{,}7}. Escrevendo em notação pedante,
[k]=\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}^{n}=\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}^{1{,}7}.

Passo 8

Afirmação (f): “Trata-se de um plástico de Binghan.”
Explicação didática: Um plástico de Bingham tem a lei
\tau=\tau_0+\eta_p\,\dot{\varepsilon},
ou seja, depois de vencida a tensão de cedência \tau_0 a relação entre \tau e \dot{\varepsilon} é linear (exponente n=1). O fluido dado tem termo k\,\dot{\varepsilon}^{1{,}7} com expoente n=1{,}7\neq1. Isso encaixa no modelo de Herschel–Bulkley (yield + power-law), não em Bingham. Portanto afirmar que é plástico de Bingham é incorreto.
Conclusão: (f) é falsa. Justificativa: Bingham exige dependência linear ( n=1); aqui n=1{,}7, logo é Herschel–Bulkley, não Bingham.

Passo 9

Afirmação (g): “A viscosidade aparente do mesmo vale 3{,}5\\ \mathrm{Pa}\\ \mathrm{s}^{1{,}7}.”
Explicação didática: Definição de viscosidade aparente (para cisalhamento) é
\eta_{\text{app}}(\dot{\varepsilon})\equiv\frac{\tau}{\dot{\varepsilon}}.
Tomando a expressão do fluido:
\eta_{\text{app}}(\dot{\varepsilon})=\frac{2}{\dot{\varepsilon}}+3{,}5\,\dot{\varepsilon}^{\,1{,}7-1} = \frac{2}{\dot{\varepsilon}}+3{,}5\,\dot{\varepsilon}^{\,0{,}7}.
Isso mostra que a viscosidade aparente depende da taxa de cisalhamento \dot{\varepsilon}: não é uma constante única 3{,}5\\ \mathrm{Pa}\,\mathrm{s}^{1{,}7}. O valor 3{,}5 corresponde ao índice de consistência k (veja abaixo), cujo papel no termo power-law tem unidades \mathrm{Pa}\,\mathrm{s}^{1{,}7}, mas não é a viscosidade aparente constante.
Conclusão: (g) é falsa. Justificativa: a viscosidade aparente é função da taxa: \eta_{\text{app}}=\dfrac{2}{\dot{\varepsilon}}+3{,}5\,\dot{\varepsilon}^{0{,}7}; portanto não vale simplesmente 3{,}5\\ \mathrm{Pa}\,\mathrm{s}^{1{,}7}. (Nota: 3{,}5 é o índice de consistência k e tem unidades \mathrm{Pa}\,\mathrm{s}^{1{,}7}.)

Passo 10

Afirmação (h): “O índice de consistência do escoamento vale 2.”
Explicação didática: No modelo power-law ou Herschel–Bulkley, o índice de consistência é o coeficiente k que multiplica \dot{\varepsilon}^n. Na expressão dada o coeficiente multiplicando \dot{\varepsilon}^{1{,}7} é 3{,}5. O número 2 presente na expressão é o termo constante (interpretable como \tau_0, tensão de cedência) e não é o índice de consistência. Portanto o índice de consistência não é 2, é 3{,}5.
Conclusão: (h) é falsa. Justificativa: k=3{,}5 (unidades \mathrm{Pa}\,\mathrm{s}^{1{,}7}); o 2 é a tensão de cedência \tau_0 (Pa), não o índice de consistência.

Passo 11

Resumo interpretativo do modelo reológico (útil para a prova):
  • A lei tem a forma de Herschel–Bulkley:
\tau=\tau_0+k\,\dot{\varepsilon}^{n},
com \tau_0=2\\ \mathrm{Pa}, k=3{,}5\\ \mathrm{Pa}\,\mathrm{s}^{1{,}7} e n=1{,}7.
  • Viscosidade aparente:
\eta_{\text{app}}(\dot{\varepsilon})=\frac{\tau}{\dot{\varepsilon}}=\frac{2}{\dot{\varepsilon}}+3{,}5\,\dot{\varepsilon}^{0{,}7},
logo varia com \dot{\varepsilon} (aqui o termo 3{,}5\,\dot{\varepsilon}^{0{,}7} cresce com \dot{\varepsilon}, indicando comportamento de aumento de resistência com a taxa — fluido dilatante para a parte power-law, já que n>1).

Resposta

a) V
b) V
c) F
d) F
e) V
f) F
g) F
h) F

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