Questão 17 Mostre que a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}\sin ^{2} \alpha & \sin ^{2} \beta & \sin ^{2} \gamma \\\ \cos ^{2} \alpha & \cos ^{2} \beta & \cos ^{2} \gamma \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right) é uma matriz não inversível, para quaisquer que sejam os valores de \alpha, \beta e \gamma.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = \begin{pmatrix} \sin^{2}\alpha & \sin^{2}\beta & \sin^{2}\gamma\\\ \cos^{2}\alpha & \cos^{2}\beta & \cos^{2}\gamma\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
é não inversível para quaisquer \alpha,\beta,\gamma.
Conteúdo envolvido: determinante, invertibilidade de matrizes e a identidade trigonométrica \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1.

Passo 2

Usamos a identidade \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1 em cada coluna da matriz. Para a coluna correspondente a \alpha temos
\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1,
e analogamente para as colunas de \beta e \gamma. Logo, somando a primeira linha com a segunda linha de A, obtemos exatamente a terceira linha:
(\sin^{2}\alpha,\sin^{2}\beta,\sin^{2}\gamma) +(\cos^{2}\alpha,\cos^{2}\beta,\cos^{2}\gamma) =(1,1,1).

Passo 3

Como a terceira linha de A é combinação linear das duas primeiras, as linhas de A são linearmente dependentes. Logo o determinante satisfaz
\det(A)=0
e, portanto, A não é inversível.

Resposta

A matriz A é não inversível pois \det(A)=0.

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