Questão 16 Se A é uma matriz definida por A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 1 & 2\end{array}\right) e X é uma matriz que satisfaz a seguinte equação matricial: A X^{-1}=\left(\left(A^{-1}\right)^{2}-A^{-1}\right)^{-1} Ache \operatorname{Tr}(X). Passo 1O enunciado dá a matriz A = \begin{pmatrix}1 & 3\\\ 1 & 2\end{pmatrix} e pede \Tr(X) tal que A\,X^{-1} \;=\;\bigl((A^{-1})^2 - A^{-1}\bigr)^{-1}. Para resolver, vamos precisar de: Inversão de matrizes 2\times2. Cálculo de potências e subtração de matrizes. Propriedade de inverso de produto: (PQ)^{-1}=Q^{-1}P^{-1}. Passo 2Primeiro achamos A^{-1} pela fórmula do inverso de uma 2\times2: \det(A)=1\cdot2-3\cdot1=-1, \quad A^{-1}=\frac1{-1}\begin{pmatrix}2&-3\\\ -1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2&3\\\ 1&-1\end{pmatrix}. Em seguida calculamos (A^{-1})^2 =\begin{pmatrix}-2&3\\\ 1&-1\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}7&-9\\\ -3&4\end{pmatrix}, e definimos B=(A^{-1})^2 - A^{-1} =\begin{pmatrix}7&-9\\\ -3&4\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-2&3\\\ 1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9&-12\\\ -4&5\end{pmatrix}. Passo 3Calculamos o inverso de B: \det(B)=9\cdot5-(-12)\cdot(-4)=45-48=-3, \quad B^{-1}=\frac1{-3}\begin{pmatrix}5&12\\\ 4&9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{3}&-4\\[6pt]-\tfrac{4}{3}&-3\end{pmatrix}. Da equação A\,X^{-1}=B^{-1} obtemos X^{-1}=A^{-1}B^{-1} \quad\Longrightarrow\quad X=(A^{-1}B^{-1})^{-1}=B\,A.] Passo 4Agora multiplicamos X = B\,A =\begin{pmatrix}9&-12\\\ -4&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&3\\\ 1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3&3\\\ 1&-2\end{pmatrix}. Logo \Tr(X) = -3 + (-2) = -5. Resposta -5 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSe A é uma matriz inversível, mostre que adj(A) é inversível e [\operatorname{adj}(A)]^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} A=\operatorname{adj}\left(A^{-1}\right)\ Seja A é uma matriz quadrada de ordem n. Mostre que \operatorname{det}(\operatorname{adj}(A))=[\operatorname{det}(A)]^{n-1}. Se A é uma matriz inversível, mostre que adj(A) é inversível e [\operatorname{adj}(A)]^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} A=\operatorname{adj}\left(A^{-1}\right)\ Questão 17 Mostre que a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}\sin ^{2} \alpha & \sin ^{2} \beta & \sin ^{2} \gamma \\\ \cos ^{2} \alpha & \cos ^{2} \beta & \cos ^{2} \gamma \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right) é uma matriz não inversível, para quaisquer que sejam os valores de \alpha, \beta e \gamma.