Questão 16 Se A é uma matriz definida por A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 1 & 2\end{array}\right) e X é uma matriz que satisfaz a seguinte equação matricial:
A X^{-1}=\left(\left(A^{-1}\right)^{2}-A^{-1}\right)^{-1}
Ache \operatorname{Tr}(X).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 3\\\ 1 & 2\end{pmatrix}
e pede \Tr(X) tal que
A\,X^{-1} \;=\;\bigl((A^{-1})^2 - A^{-1}\bigr)^{-1}.
Para resolver, vamos precisar de:
  1. Inversão de matrizes 2\times2.
  2. Cálculo de potências e subtração de matrizes.
  3. Propriedade de inverso de produto: (PQ)^{-1}=Q^{-1}P^{-1}.

Passo 2

Primeiro achamos A^{-1} pela fórmula do inverso de uma 2\times2:
\det(A)=1\cdot2-3\cdot1=-1, \quad A^{-1}=\frac1{-1}\begin{pmatrix}2&-3\\\ -1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2&3\\\ 1&-1\end{pmatrix}.
Em seguida calculamos
(A^{-1})^2 =\begin{pmatrix}-2&3\\\ 1&-1\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}7&-9\\\ -3&4\end{pmatrix},
e definimos
B=(A^{-1})^2 - A^{-1} =\begin{pmatrix}7&-9\\\ -3&4\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-2&3\\\ 1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9&-12\\\ -4&5\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o inverso de B:
\det(B)=9\cdot5-(-12)\cdot(-4)=45-48=-3, \quad B^{-1}=\frac1{-3}\begin{pmatrix}5&12\\\ 4&9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{3}&-4\\[6pt]-\tfrac{4}{3}&-3\end{pmatrix}.
Da equação A\,X^{-1}=B^{-1} obtemos
X^{-1}=A^{-1}B^{-1} \quad\Longrightarrow\quad X=(A^{-1}B^{-1})^{-1}=B\,A.]

Passo 4

Agora multiplicamos
X = B\,A =\begin{pmatrix}9&-12\\\ -4&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&3\\\ 1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3&3\\\ 1&-2\end{pmatrix}.
Logo
\Tr(X) = -3 + (-2) = -5.

Resposta

-5

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