Questão 17 - Movimento de Projéteis

Ao lançar uma bola num campo de futebol, observamos que ela segue uma trajetória curva até cair no solo. a) Qual é o nome da forma dessa trajetória? b) Por que essa trajetória ocorre? Explique considerando a decomposição dos movimentos.

Passo 1

O enunciado dá uma bola lançada num campo que descreve uma trajetória curva até cair no solo e pede duas coisas:
  • (a) Dizer qual é o nome da forma dessa trajetória.
  • (b) Explicar por que essa trajetória ocorre, usando a decomposição dos movimentos.
Informações relevantes explícitas:
  • Há um lançamento de uma bola (portanto existe uma velocidade inicial).
  • A bola descreve uma trajetória no plano vertical e volta a atingir o solo.
  • Não foram dadas forças adicionais nem números; portanto trabalhar com o caso ideal (força dominante: peso) é suficiente.

Passo 2

Primeiro fazemos uma suposição padrão (a usada em quase todas as aulas introdutórias de projéteis): desprezamos a resistência do ar e quaisquer forças além do peso (gravidade). Essa suposição facilita a explicação básica que o professor espera numa prova. Se houver resistência do ar, a forma muda — depois eu explico isso brevemente.

Passo 3

Definir variáveis e decompor a velocidade inicial. Seja:
  • v_0 a velocidade inicial (módulo) com que a bola é lançada.
  • \theta o ângulo de lançamento em relação à horizontal.
  • g a aceleração da gravidade, g\approx 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Usaremos um sistema de coordenadas com o eixo x horizontal e o eixo y vertical (positivo para cima).
    Decompondo a velocidade inicial em componentes:
  • Componente horizontal: v_{0x} = v_0\cos\theta.
  • Componente vertical: v_{0y} = v_0\sin\theta.
Explanação curta do porquê dessa decomposição: qualquer vetor velocidade pode ser escrito como soma de duas componentes ortogonais; aqui escolhemos horizontais e verticais porque a gravidade atua verticalmente.

Passo 4

Escrever as equações do movimento separadas para cada direção, usando as leis do movimento uniformemente variado (MUV) e do movimento retilíneo uniforme (MRU).
Como a única aceleração é a da gravidade atuando para baixo, as acelerações nas direções são:
  • Na horizontal: a_x = 0 (sem forças horizontais no caso ideal).
  • Na vertical: a_y = -g.
Assim, as posições em função do tempo t são:
x(t) = v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\; t,
y(t) = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2 = v_0\sin\theta\; t - \tfrac{1}{2} g t^2.

Passo 5

Explicar a independência dos movimentos: as equações acima mostram que o movimento horizontal depende só de v_0\cos\theta e do tempo (MRU), enquanto o movimento vertical é um movimento uniformemente acelerado (MUV) por causa da aceleração -g. Essas duas direções não trocam informação entre si (na ausência de forças horizontais): o que acontece em y não altera diretamente a lei que governa x, e vice‑versa. É essa independência que torna fácil prever a trajetória.

Passo 6

Mostrar analiticamente que a trajetória no plano x- y é uma parábola. Para isso eliminamos o tempo entre x(t) e y(t). Da primeira equação,
t = \frac{x}{v_0\cos\theta}.
Substituindo em y(t):
y = v_0\sin\theta\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right) - \tfrac{1}{2} g \left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^{2}.
Simplificando:
y = x\tan\theta - \frac{g}{2 v_0^{2}\cos^{2}\theta}\;x^{2}.
Essa é uma equação quadrática em x da forma
y = A x - B x^{2},
com A=\tan\theta e B=\dfrac{g}{2 v_0^{2}\cos^{2}\theta}. Qualquer função do tipo y = \alpha x + \beta x^{2} (com \beta \neq 0) é uma parábola. Logo, a trajetória é uma parábola.

Passo 7

Interpretação física imediata da forma parabólica (a resposta à parte b em linguagem clara):
  • O termo linear x\tan\theta vem do componente inicial vertical projetado ao longo do deslocamento horizontal (seria uma reta se não houvesse gravidade).
  • O termo quadrático negativo -\dfrac{g}{2 v_0^{2}\cos^{2}\theta}x^{2} aparece por causa da aceleração vertical constante -g; é esse termo que curva a trajetória para baixo.
    Portanto: a combinação de um movimento horizontal com velocidade constante e de um movimento vertical com aceleração constante produz uma curva quadrática — uma parábola.

Passo 8

Além de mostrar a forma, é útil saber quantidades importantes (úteis em prova): tempo de voo, altura máxima e alcance horizontal. Vou deduzir cada uma de forma didática.
Tempo total de voo t_f: colocar y=0 (volta ao solo) em
y(t)=v_0\sin\theta\; t - \tfrac{1}{2} g t^2 = 0.
Fatorando t:
t\left(v_0\sin\theta - \tfrac{1}{2} g t\right)=0.
Soluções: t=0 (lançamento) e t = \dfrac{2 v_0\sin\theta}{g} (tempo de retorno). Então
t_f = \frac{2 v_0\sin\theta}{g}.
Altura máxima H: ocorre quando a velocidade vertical é zero. A velocidade vertical é
v_y(t) = v_0\sin\theta - g t.
No topo v_y=0, logo t_{H} = \dfrac{v_0\sin\theta}{g}. Substituindo em y(t):
H = y(t_H) = v_0\sin\theta\left(\frac{v_0\sin\theta}{g}\right) - \tfrac{1}{2} g \left(\frac{v_0\sin\theta}{g}\right)^{2},
que simplifica para
H = \frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2 g}.
Alcance horizontal R: usar x(t_f):
R = x(t_f) = v_0\cos\theta\; t_f = v_0\cos\theta\left(\frac{2 v_0\sin\theta}{g}\right).
Usando a identidade trigonométrica \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, obtemos
R = \frac{v_0^{2}\sin 2\theta}{g}.

Passo 9

Breve comentário sobre resistência do ar e outras forças (o que muda na prova se perguntarem):
  • Se houver resistência do ar a dependência horizontal deixa de ser MRU: haverá força horizontal que reduz v_x com o tempo e a trajetória já não é uma parábola exata (fica assimétrica e mais baixa).
  • Se houver vento ou impulso adicional, também altera as componentes.
  • Em problemas introdutórios de prova, normalmente assume‑se o caso ideal sem resistência do ar, e então a resposta correta para (a) é “parábola” e (b) a explicação é a decomposição em movimento horizontal uniforme + movimento vertical uniformemente acelerado pela gravidade.

Passo 10

Exemplo numérico rápido só para intuir os números (opcional, mas ajuda a fixar): suponha v_0=20\\ \mathrm{m/s} e \theta=45^\circ.
  • \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Tempo de voo:
t_f = \frac{2\cdot 20 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{9,8} = \frac{20\sqrt{2}}{9,8}\approx 2,88\\ \mathrm{s}.
  • Altura máxima:
H = \frac{20^{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{2\cdot 9,8} = \frac{400\cdot \tfrac{1}{2}}{19,6} = \frac{200}{19,6}\approx 10,20\\ \mathrm{m}.
  • Alcance:
R = \frac{20^{2}\sin 90^\circ}{9,8} = \frac{400\cdot 1}{9,8}\approx 40,82\\ \mathrm{m}.
Esse exemplo mostra números palpáveis: a parábola alcança uma altura e um alcance previsíveis pelas fórmulas anteriores.

Resposta

(a) Parábola.
(b) Porque o movimento é a soma de dois movimentos independentes: na horizontal a bola tem movimento retilíneo uniforme ( a_x=0), e na vertical tem movimento uniformemente acelerado devido à gravidade ( a_y=-g); ao eliminar o tempo entre x(t)=v_0\cos\theta\,t e y(t)=v_0\sin\theta\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2} obtém‑se y=x\tan\theta-\dfrac{g}{2v_0^{2}\cos^{2}\theta}x^{2}, que é uma equação quadrática em x — uma parábola.

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