Questão 17 Obtenha uma decomposição
tal que os conjuntos
, são infinitos e dois a dois disjuntos.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede-se construir uma decomposição
tal que cada conjunto
seja infinito e os conjuntos sejam dois a dois disjuntos (ou seja,
sempre que
).
- Informações relevantes dadas (explicitamente ou implícitas):
- O universo é
(os números naturais positivos). - Deve haver infinitamente muitos conjuntos
(índice ) e cada um deles infinito. - A união de todos os
deve ser exatamente . - Os
devem ser disjuntos dois a dois.
- O universo é
A partir daqui vamos construir explicitamente esses conjuntos e provar que a construção satisfaz todas as condições.
Passo 2
Ideia construtiva (descrita de forma simples): separar os naturais segundo a maior potência de
que divide o número. Mais concretamente, qualquer
pode ser escrito de forma única como
onde
é um inteiro e
é ímpar (isto é,
não é divisível por
). Esta escrita obtém-se dividindo
por
repetidamente até ficar um número ímpar. Vou explicar porque isso sempre funciona (existência) e é único (unicidade).
-
Existência (algoritmo): dado
, dividir por enquanto o quociente for par. Esse processo termina porque ao dividir sucessivas vezes por os números diminuem e eventualmente obtém-se um número ímpar (por exemplo ou outro ímpar). O número de divisões realizadas é e o quociente ímpar final é . Assim o produto reconstrói . -
Unicidade: se
com ímpares e , então . Como é ímpar, só pode ser , logo e . Portanto a escrita é única.
Essa decomposição
é a base da construção dos conjuntos
.
Passo 3
Definição explícita dos conjuntos
:
Para cada
(com
) defina
Ou, em palavras:
é o conjunto dos naturais cuja escrita
tem
; isto é, os números que são divisíveis por
mas não por
.
Comentário prático:
-
são os números ímpares ( porque ). -
são os números divisíveis por mas não por . -
são os divisíveis por mas não por .
E assim por diante.
Passo 4
Provar que a união dos
é
(cobertura):
Seja
. Pela existência do passo anterior,
pode ser escrita como
com
ímpar e
. Então
pertence a
, porque
com
. Logo todo
está em algum
. Portanto
Passo 5
Provar que os
são dois a dois disjuntos:
Suponha, por contradição, que existe
tal que
com
. Então existem
tais que
Sem perda de generalidade suponha
. Então
divide
. Mas
é ímpar, portanto a única potência de
que pode dividi-lo é
; isto força
, contradizendo
. Logo não existe tal
e os conjuntos são disjuntos:
sempre que
.
Passo 6
Provar que cada
é infinito:
Para um
fixo, a fórmula
mostra diretamente que à medida que
varia por todos os naturais obtemos infinitos elementos distintos em
. A aplicação
é injetiva e o domínio é infinito, logo
é infinito.
Passo 7
Recapitulando e dando um exemplo concreto para sentir a construção:
-
(ímpares). -
(números da forma ). -
(números da forma ). -
, etc.
Cada
tem infinitos elementos, são disjuntos e sua união é
. Missão cumprida!