Questão 17 Obtenha uma decomposição
\mathbb{N}=X_{1} \cup X_{2} \cup X_{3} \cup \cdots \cup X_{n} \cup \cdots
tal que os conjuntos X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots, são infinitos e dois a dois disjuntos.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede-se construir uma decomposição
\mathbb{N}=X_{1}\cup X_{2}\cup X_{3}\cup\cdots\cup X_{n}\cup\cdots
tal que cada conjunto X_{n} seja infinito e os conjuntos sejam dois a dois disjuntos (ou seja, X_i\cap X_j=\varnothing sempre que i\neq j).
  • Informações relevantes dadas (explicitamente ou implícitas):
    • O universo é \mathbb{N} (os números naturais positivos).
    • Deve haver infinitamente muitos conjuntos X_{n} (índice n=1,2,3,\dots) e cada um deles infinito.
    • A união de todos os X_{n} deve ser exatamente \mathbb{N}.
    • Os X_{n} devem ser disjuntos dois a dois.
A partir daqui vamos construir explicitamente esses conjuntos e provar que a construção satisfaz todas as condições.

Passo 2

Ideia construtiva (descrita de forma simples): separar os naturais segundo a maior potência de 2 que divide o número. Mais concretamente, qualquer m\in\mathbb{N} pode ser escrito de forma única como
m=2^{t}\cdot q,
onde t\ge 0 é um inteiro e q é ímpar (isto é, q não é divisível por 2). Esta escrita obtém-se dividindo m por 2 repetidamente até ficar um número ímpar. Vou explicar porque isso sempre funciona (existência) e é único (unicidade).
  • Existência (algoritmo): dado m, dividir por 2 enquanto o quociente for par. Esse processo termina porque ao dividir sucessivas vezes por 2 os números diminuem e eventualmente obtém-se um número ímpar (por exemplo 1 ou outro ímpar). O número de divisões realizadas é t e o quociente ímpar final é q. Assim o produto 2^{t}q reconstrói m.
  • Unicidade: se 2^{t}q=2^{t'}q' com q,q' ímpares e t\le t', então q=2^{t'-t}q'. Como q' é ímpar, 2^{t'-t} só pode ser 1, logo t'=t e q'=q. Portanto a escrita é única.
Essa decomposição m=2^{t}q é a base da construção dos conjuntos X_{n}.

Passo 3

Definição explícita dos conjuntos X_{n}:
Para cada n\in\mathbb{N} (com n\ge 1) defina
X_{n}=\{\,2^{\,n-1}(2k-1)\mid k\in\mathbb{N}\,\}.
Ou, em palavras: X_{n} é o conjunto dos naturais cuja escrita m=2^{t}q tem t=n-1; isto é, os números que são divisíveis por 2^{n-1} mas não por 2^{n}.
Comentário prático:
  • X_{1} são os números ímpares ( t=0 porque 2^{0}=1).
  • X_{2} são os números divisíveis por 2 mas não por 4.
  • X_{3} são os divisíveis por 4 mas não por 8.
    E assim por diante.

Passo 4

Provar que a união dos X_{n} é \mathbb{N} (cobertura):
Seja m\in\mathbb{N}. Pela existência do passo anterior, m pode ser escrita como m=2^{t}q com q ímpar e t\ge 0. Então m pertence a X_{t+1}, porque m=2^{(t+1)-1}(2k-1) com 2k-1=q. Logo todo m está em algum X_{n}. Portanto
\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}=\mathbb{N}.

Passo 5

Provar que os X_{n} são dois a dois disjuntos:
Suponha, por contradição, que existe m tal que m\in X_{i}\cap X_{j} com i\neq j. Então existem k,\ell\in\mathbb{N} tais que
m=2^{\,i-1}(2k-1)=2^{\,j-1}(2\ell-1).
Sem perda de generalidade suponha i<j. Então 2^{j-i} divide 2k-1. Mas 2k-1 é ímpar, portanto a única potência de 2 que pode dividi-lo é 2^{0}=1; isto força j-i=0, contradizendo i<j. Logo não existe tal m e os conjuntos são disjuntos: X_{i}\cap X_{j}=\varnothing sempre que i\neq j.

Passo 6

Provar que cada X_{n} é infinito:
Para um n fixo, a fórmula X_{n}=\{2^{\,n-1}(2k-1)\mid k\in\mathbb{N}\} mostra diretamente que à medida que k varia por todos os naturais obtemos infinitos elementos distintos em X_{n}. A aplicação k\mapsto 2^{\,n-1}(2k-1) é injetiva e o domínio é infinito, logo X_{n} é infinito.

Passo 7

Recapitulando e dando um exemplo concreto para sentir a construção:
  • X_{1}=\{1,3,5,7,9,\dots\} (ímpares).
  • X_{2}=\{2,6,10,14,18,\dots\} (números da forma 2(2k-1)).
  • X_{3}=\{4,12,20,28,36,\dots\} (números da forma 4(2k-1)).
  • X_{4}=\{8,24,40,56,\dots\}, etc.
Cada X_{n} tem infinitos elementos, são disjuntos e sua união é \mathbb{N}. Missão cumprida!

Resposta

X_{n}=\{\,2^{\,n-1}(2k-1)\mid k\in\mathbb{N}\,\},\quad n=1,2,3,\dots

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