Questão 13 Dado
, mostre que:
Se
é infinito e
é sobrejetora, então
é infinito.
Se
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e do que pede:
- Dado
. - Sabe-se que
é infinito. - Sabe-se que
é sobrejetora (surjetiva). - O que se pede: mostrar que
é infinito.
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicadas como se fosse uma aulinha rápida):
- Função sobrejetora:
é sobrejetora significa que para todo existe pelo menos um tal que . Em símbolos: . - Conjunto finito / infinito (intuição): dizemos que um conjunto
é finito quando seus elementos podem ser listados numa sequência finita para algum inteiro . Dizemos que é infinito quando não é finito. - Observação prática que será usada: se um conjunto
tem elementos ( ), então a imagem por qualquer função tem no máximo elementos (pode ter menos, pois diferentes podem ter a mesma imagem).
Passo 3
Escolha do método de prova e por que: é bem natural provar por contradição (ou, equivalentemente, provar a contrária): mostrar que se
fosse finito então
também seria finito. Isso é direto e usa apenas a observação do passo anterior. Como o enunciado nos dá que
é infinito, essa conclusão contradiz a hipótese, forçando
a ser infinito.
Passo 4
Prova formal (direta da contrária):
- Suponha, para fins de contradição, que
seja finito. Então existe um inteiro tal que . Isso significa que os elementos de podem ser enumerados como . - Considere a imagem
. Por definição,
Como cada elemento de
é igual a
para algum
, podemos escrever
- Da inclusão acima segue que o número de elementos de
é no máximo ; em notação, . Em palavras: a imagem não pode ter mais elementos do que o domínio enumerado. - Mas
é sobrejetora, logo . Substituindo, obtemos . Portanto seria finito. - Isso contradiz a hipótese de que
é infinito. Logo a suposição inicial (que é finito) é falsa.
Passo 5
Conclusão e comentário final:
- Conclui-se que
não pode ser finito; ou seja, é infinito. - Intuição rápida: uma função não pode “inventar” elementos para cobrir um conjunto infinito a partir de um conjunto finito — a imagem de um conjunto finito é sempre finita, então para cobrir um conjunto infinito o domínio também precisa ser infinito. Você pode pensar num exemplo concreto: não existe função de um conjunto com 3 elementos que seja sobrejetora em um conjunto com 100 elementos.