Questão 13 Dado f: X \rightarrow Y, mostre que:
Se Y é infinito e f é sobrejetora, então X é infinito.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede:
  • Dado f: X \to Y.
  • Sabe-se que Y é infinito.
  • Sabe-se que f é sobrejetora (surjetiva).
  • O que se pede: mostrar que X é infinito.

Passo 2

Definições e ideias que vamos usar (explicadas como se fosse uma aulinha rápida):
  • Função sobrejetora: f é sobrejetora significa que para todo y\in Y existe pelo menos um x\in X tal que f(x)=y. Em símbolos: f(X)=Y.
  • Conjunto finito / infinito (intuição): dizemos que um conjunto A é finito quando seus elementos podem ser listados numa sequência finita a_1,a_2,\dots,a_n para algum inteiro n. Dizemos que A é infinito quando não é finito.
  • Observação prática que será usada: se um conjunto X tem n elementos ( |X|=n), então a imagem f(X) por qualquer função f tem no máximo n elementos (pode ter menos, pois diferentes x podem ter a mesma imagem).

Passo 3

Escolha do método de prova e por que: é bem natural provar por contradição (ou, equivalentemente, provar a contrária): mostrar que se X fosse finito então Y também seria finito. Isso é direto e usa apenas a observação do passo anterior. Como o enunciado nos dá que Y é infinito, essa conclusão contradiz a hipótese, forçando X a ser infinito.

Passo 4

Prova formal (direta da contrária):
  • Suponha, para fins de contradição, que X seja finito. Então existe um inteiro n\ge 0 tal que |X|=n. Isso significa que os elementos de X podem ser enumerados como x_1,x_2,\dots,x_n.
  • Considere a imagem f(X). Por definição,
f(X)=\{\,f(x)\mid x\in X\,\}.
Como cada elemento de f(X) é igual a f(x_i) para algum i\in\{1,\dots,n\}, podemos escrever
f(X)\subseteq\{f(x_1),f(x_2),\dots,f(x_n)\}.
  • Da inclusão acima segue que o número de elementos de f(X) é no máximo n; em notação, |f(X)|\le n. Em palavras: a imagem não pode ter mais elementos do que o domínio enumerado.
  • Mas f é sobrejetora, logo f(X)=Y. Substituindo, obtemos |Y|=|f(X)|\le n. Portanto Y seria finito.
  • Isso contradiz a hipótese de que Y é infinito. Logo a suposição inicial (que X é finito) é falsa.

Passo 5

Conclusão e comentário final:
  • Conclui-se que X não pode ser finito; ou seja, X é infinito.
  • Intuição rápida: uma função não pode “inventar” elementos para cobrir um conjunto infinito a partir de um conjunto finito — a imagem de um conjunto finito é sempre finita, então para cobrir um conjunto infinito o domínio também precisa ser infinito. Você pode pensar num exemplo concreto: não existe função de um conjunto com 3 elementos que seja sobrejetora em um conjunto com 100 elementos.

Resposta

X é infinito.

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