Questão 17. Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de \mathrm{R} \ 6.462,50,2 meses antes da data de vencimento. Qual o desconto a que fará jus se a taxa corrente no mercado é deáé60 %$ a. a. e o critério adotado foi o do desconto racional simples?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos. O enunciado pergunta qual o desconto a que a pessoa fará jus ao antecipar o pagamento de uma dívida. Os dados são:
  • Valor nominal da dívida: N = R\$\,6.462,50.
  • Antecipação: 2 meses antes do vencimento.
  • Taxa corrente no mercado: i = 60\% ao ano, isto é i = 0,60 (por ano).
  • Critério adotado: desconto racional simples.
O que se pede: calcular o valor do desconto (em reais) aplicando o desconto racional simples para o prazo de 2 meses.

Passo 2

Explicar o conceito e a fórmula do desconto racional simples (passo-a-passo didático).
Conceito intuitivo: no desconto racional simples a ideia é encontrar o valor presente A (o que se recebe hoje) tal que, aplicado a taxa simples i pelo tempo t, cresceria até o valor nominal N na data de vencimento. Em outras palavras, A é o capital que, rendendo juros simples, vira N no prazo restante.
Para juros simples vale a relação (honesta e fácil de entender):
N = A\,(1 + i\,t).
Aqui:
  • N é o valor nominal (futuro);
  • A é o valor atual (presente) que se quer calcular;
  • i é a taxa por unidade de tempo (aqui ao ano);
  • t é o tempo em anos até o vencimento.
Isolando A:
A = \dfrac{N}{1 + i\,t}.
O desconto racional simples D é a diferença entre o valor nominal e o valor atual:
D = N - A = N - \dfrac{N}{1 + i\,t}.
Fatorando N obtemos a fórmula útil:
D = N \cdot \dfrac{i\,t}{1 + i\,t}.
Explicação das variáveis (novamente, para fixar):
  • D: desconto racional simples (valor que se desconta do nominal);
  • N: valor nominal (a dívida original);
  • i: taxa (por unidade de tempo, aqui ano);
  • t: tempo até o vencimento (em anos).

Passo 3

Converter o prazo e calcular o produto i\,t.
O prazo é 2 meses, em anos:
t = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\\ \text{ano}.
A taxa anual é i = 0,60. Então
i\,t = 0,60 \cdot \dfrac{1}{6} = 0,10.

Passo 4

Aplicar a fórmula do desconto racional simples.
Usando
D = N \cdot \dfrac{i\,t}{1 + i\,t},
substituindo i\,t = 0,10 e N = R\$\,6.462,50:
D = R\$\,6.462,50 \cdot \dfrac{0,10}{1 + 0,10}.
Calcular o denominador:
1 + 0,10 = 1,10.
Portanto a fração é
\dfrac{0,10}{1,10} = \dfrac{1}{11}\approx 0,090909\ldots
Logo
D = R\$\,6.462,50 \cdot \dfrac{1}{11}.

Passo 5

Fazer a divisão e obter o valor numérico do desconto.
Dividindo:
\dfrac{R\$\,6.462,50}{11} = R\$\,587,50.
Como checagem rápida, o valor presente seria
A = N - D = R\$\,6.462,50 - R\$\,587,50 = R\$\,5.875,00,
e conferimos que A\,(1+i\,t) = R\$\,5.875,00 \cdot 1,10 = R\$\,6.462,50 = N, portanto está consistente.

Resposta

R$,587,50

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