Questão 18. Um título foi resgatado racionalmente 2 meses antes de seu vencimento. Qual foi a taxa simples adotada nessa operação, se o desconto concedido foi igual à metade do seu valor atual na data de resgate?

Passo 1

O enunciado diz que um título foi resgatado racionalmente 2 meses antes do vencimento, e que o desconto concedido foi igual à metade do seu valor atual na data de resgate.
O que nos pedem: encontrar a taxa simples adotada nessa operação.
Informações relevantes dadas:
  • tempo até o vencimento na data de resgate: t = 2 meses;
  • o desconto D satisfaça D = \tfrac{1}{2}\,P, onde P é o valor atual (valor recebido no resgate);
  • o resgate foi feito por desconto racional (desconto “por dentro”), ou seja, usa-se a fórmula do valor presente racional simples.

Passo 2

Vamos definir as variáveis e a fórmula que descreve o desconto racional simples:
  • F = valor nominal (valor no vencimento) do título;
  • P = valor atual (valor recebido no resgate), também chamado de valor presente;
  • i = taxa de desconto simples (unitária por ano, salvo indicação em contrário);
  • t = tempo até o vencimento, em anos.
A fórmula do desconto racional simples (valor presente por desconto “por dentro”) é
P=\frac{F}{1+i\,t}.
Explicação didática: essa fórmula vem de considerar que o valor P aplicado à taxa simples i por tempo t cresce (em juros simples) até atingir F, ou seja F=P(1+i\,t). Invertendo, obtém-se P=F/(1+i\,t).
O desconto absoluto é
D=F-P.

Passo 3

A condição dada no enunciado é que o desconto concedido é igual à metade do valor atual:
D=\tfrac{1}{2}P.
Substituindo D=F-P nessa igualdade obtemos
F-P=\tfrac{1}{2}P.
Somando P aos dois lados,
F=\tfrac{3}{2}P.
Isolando P,
P=\tfrac{2}{3}F.

Passo 4

Agora igualamos essa expressão de P com a fórmula do desconto racional:
\frac{F}{1+i\,t}=\frac{2}{3}F.
Como F>0, podemos dividir ambos os lados por F, resultando em
\frac{1}{1+i\,t}=\frac{2}{3}.
Invertendo ambos os lados,
1+i\,t=\frac{3}{2}.
Logo
i\,t=\frac{1}{2}.

Passo 5

Convertendo o tempo para anos: t=2 meses =\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6} ano. Substituindo em i\,t=\tfrac{1}{2}:
i\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.
Isolando i,
i=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{6}}=3.
Interpretação: i=3 significa taxa simples anual de 3=300\% ao ano. Se quiser a taxa por mês (dividindo por 12, no caso de taxa nominal simples),
i_{\text{mês}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0,25=25\%\\ \text{ao mês}.êê

Passo 6

Verificação numérica rápida (exemplo para conferir): tome F=300. Então P=\tfrac{2}{3}F=200. O desconto é D=F-P=100, que é metade de P (100 = \tfrac{1}{2}\cdot 200). Usando a fórmula com i=3 e t=\tfrac{1}{6}:
P=\frac{F}{1+i\,t}=\frac{300}{1+3\cdot\frac{1}{6}}=\frac{300}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{300}{\tfrac{3}{2}}=200,
confirmação correta.

Resposta

i=3=300\% ao ano.
i_{\text{mês}}=0,25=25\%ê ao mês.

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