Questão 18. Um título foi resgatado racionalmente 2 meses antes de seu vencimento. Qual foi a taxa simples adotada nessa operação, se o desconto concedido foi igual à metade do seu valor atual na data de resgate?
Passo 1
O enunciado diz que um título foi resgatado racionalmente
meses antes do vencimento, e que o desconto concedido foi igual à metade do seu valor atual na data de resgate.
O que nos pedem: encontrar a taxa simples adotada nessa operação.
Informações relevantes dadas:
O que nos pedem: encontrar a taxa simples adotada nessa operação.
Informações relevantes dadas:
- tempo até o vencimento na data de resgate:
meses; - o desconto
satisfaça , onde é o valor atual (valor recebido no resgate); - o resgate foi feito por desconto racional (desconto “por dentro”), ou seja, usa-se a fórmula do valor presente racional simples.
Passo 2
Vamos definir as variáveis e a fórmula que descreve o desconto racional simples:
-
= valor nominal (valor no vencimento) do título; -
= valor atual (valor recebido no resgate), também chamado de valor presente; -
= taxa de desconto simples (unitária por ano, salvo indicação em contrário); -
= tempo até o vencimento, em anos.
A fórmula do desconto racional simples (valor presente por desconto “por dentro”) é
Explicação didática: essa fórmula vem de considerar que o valor
aplicado à taxa simples
por tempo
cresce (em juros simples) até atingir
, ou seja
. Invertendo, obtém-se
.
O desconto absoluto é
Passo 3
A condição dada no enunciado é que o desconto concedido é igual à metade do valor atual:
Substituindo
nessa igualdade obtemos
Somando
aos dois lados,
Isolando
,
Passo 4
Agora igualamos essa expressão de
com a fórmula do desconto racional:
Como
, podemos dividir ambos os lados por
, resultando em
Invertendo ambos os lados,
Logo
Passo 5
Convertendo o tempo para anos:
meses
ano. Substituindo em
:
Isolando
,
Interpretação:
significa taxa simples anual de
ao ano. Se quiser a taxa por mês (dividindo por 12, no caso de taxa nominal simples),
Passo 6
Verificação numérica rápida (exemplo para conferir): tome
. Então
. O desconto é
, que é metade de
(100 =
). Usando a fórmula com
e
:
confirmação correta.