Questão 17. Um plano \pi é determinado pelos pontos não colineares A=(-3,-1,-3), B=(2,-1,2), e C=(1,1,1). Determine uma equação geral do plano \pi.
(a) Encontre uma equação geral do plano \pi.
(b) Encontre uma vetor normal ao plano \pi determinado pelos pontos A, B e C.

Passo 1

O enunciado dá três pontos não colineares
A = (-3,-1,-3),\quad B = (2,-1,2),\quad C = (1,1,1)
e pede (a) a equação geral do plano \pi que passa por esses pontos e (b) um vetor normal a \pi.
Conteúdo necessário: vetores direcionais, produto vetorial para obter o normal e forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Calculamos os vetores direcionais
\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-3),\,-1 - (-1),\,2 - (-3)) = (5,\,0,\,5),
\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - (-3),\,1 - (-1),\,1 - (-3)) = (4,\,2,\,4).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 5 & 0 & 5\\\\ 4 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (-10,\,0,\,10).
Para simplificar, escolhemos
\mathbf{n} = (1,\,0,\,-1),
pois é múltiplo escalar de (-10,0,10).

Passo 4

Usamos a forma ponto-normal do plano em A=(-3,-1,-3):
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad (1,0,-1)\cdot(x+3,\;y+1,\;z+3)=0.
Expandindo:
1\,(x+3)+0\,(y+1)-1\,(z+3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x - z = 0.

Resposta

(a) x - z = 0.
(b) Um vetor normal é (1,\,0,\,-1).

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