Questão 18. O plano \pi tem equações paramétricas \pi : \begin{array}{l} x=2+2 \alpha-\beta \\\ y=2-3 \alpha+5 \beta \\\ z=-1+\alpha-3 \beta \end{array} \right..
(a) Encontre uma equação geral do plano \pi.
(b) Encontre uma vetor normal ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano \pi\) em forma paramétrica \[\begin{cases} x = 2 + 2\alpha - \beta,\\\ y = 2 - 3\alpha + 5\beta,\\\ z = -1 + \alpha - 3\beta. \end{cases}
Queremos converter essa forma paramétrica para a equação geral de um plano em \mathbb{R}^3\] e encontrar um vetor normal. Para isso, extrairemos dois vetores diretores a partir dos coeficientes de \(\alpha e \beta, calcularemos o produto vetorial para obter o vetor normal e, por fim, usaremos esse normal e um ponto do plano para escrever a equação geral.

Passo 2

Os vetores que acompanham \alpha e \beta são diretores do plano. Logo,
v = (2,\,-3,\,1), \quad w = (-1,\,5,\,-3).

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial v \times w. Calculamos:
n = v \times w = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -3 & 1 \\\\ -1 & 5 & -3 \end{vmatrix} = \bigl(({-3})(-3) - (1)(5),\; -\bigl((2)(-3)-(1)(-1)\bigr),\; (2)(5)-(-3)(-1)\bigr) = (4,\,5,\,7).

Passo 4

Escolhemos um ponto do plano, por exemplo \alpha=0,\beta=0 (2,2,-1). Com o normal n=(4,5,7), a equação geral é
4(x-2) + 5(y-2) + 7(z+1) = 0.
Expandindo, obtemos
4x + 5y + 7z - 11 = 0.

Resposta

(a) 4x + 5y + 7z - 11 = 0.
(b) Um vetor normal ao plano é (4,\,5,\,7).

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