Questão 18. O plano \pi tem equações paramétricas \pi : \begin{array}{l}
x=2+2 \alpha-\beta \\\ y=2-3 \alpha+5 \beta \\\ z=-1+\alpha-3 \beta
\end{array}
\right..
(a) Encontre uma equação geral do plano \pi.
(b) Encontre uma vetor normal ao plano \pi.
Passo 1
O enunciado nos dá o plano \pi\) em forma paramétrica
\[\begin{cases} x = 2 + 2\alpha - \beta,\\\ y = 2 - 3\alpha + 5\beta,\\\ z = -1 + \alpha - 3\beta. \end{cases}
Queremos converter essa forma paramétrica para a equação geral de um plano em \mathbb{R}^3\] e encontrar um vetor normal. Para isso, extrairemos dois vetores diretores a partir dos coeficientes de \(\alpha e \beta, calcularemos o produto vetorial para obter o vetor normal e, por fim, usaremos esse normal e um ponto do plano para escrever a equação geral.
Passo 2
Os vetores que acompanham \alpha e \beta são diretores do plano. Logo,
v = (2,\,-3,\,1), \quad w = (-1,\,5,\,-3).
Passo 3
O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial v \times w. Calculamos: