QUESTÃO 176
Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
(A) Artur, com probabilidade de
(B) João, com probabilidade de
(C) Artur, com probabilidade de
(D) João, com probabilidade de
(A) Artur, com probabilidade de
(B) João, com probabilidade de
(C) Artur, com probabilidade de
(D) João, com probabilidade de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (já peguei tudo do texto):
- Há três dados cúbicos idênticos com faces numeradas de 1 a 6.
- Artur escolheu dois desses dados e os lança; João ficou com o terceiro dado e também o lança.
- Para Artur considera-se o maior número obtido nos dois dados que ele lançou (ou seja, o máximo dos dois).
- Comparam-se o maior número de Artur com o número de João. Vence quem tiver o maior número; em caso de empate, a vitória é de João.
A pergunta do enunciado: qual jogador tem a maior probabilidade de vitória, e qual é essa probabilidade?
Passo 2
Estratégia de solução (o que vamos calcular):
- Vou obter a distribuição do máximo de dois dados (isto é, para cada
achar ). - Depois, para cada
, calculo a probabilidade de João obter um número menor que , pois Artur ganha exatamente quando o máximo dele é estritamente maior que o número de João. - Somando sobre todos os
obtenho . Por complementar obtenho .
Antes de calcular, uma explicação didática: se
são os resultados dos dois dados de Artur e
, então
porque cada dado tem probabilidade
de dar valor
e os lançamentos são independentes. A partir daí obtemos a probabilidade pontual
Esta é a fórmula padrão para passar da função de distribuição acumulada (CDF) para a função massa de probabilidade (PMF) em variáveis discretas.
Passo 3
Calcular a PMF do máximo
. Para
,
Então temos explicitamente
.
Passo 4
Agora calcular
. Artur vence exatamente quando
, sendo
o resultado de João. Condicionalmente a
, a probabilidade de João ter valor menor que
é
. Assim
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Passo 5
Calcular a soma
. Primeiro expandimos:
Usamos as somas conhecidas
e
. Então
Portanto
Passo 6
Para consistência, calculo também
por complemento:
Uma verificação alternativa e direta: se João tira
, então Artur perde (ou empata, que dá vitória a João) exatamente quando
, cuja probabilidade é
. Assim
o que bate com o complemento acima. Numericamente,
Passo 7
Conclusão comparativa:
, logo Artur tem a maior probabilidade de vitória. A probabilidade de Artur vencer é
.
Resposta
Artur, com probabilidade de