QUESTÃO 176

Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
(A) Artur, com probabilidade de \frac{2}{3}
(B) João, com probabilidade de \frac{4}{9}
(C) Artur, com probabilidade de \frac{91}{216}
(D) João, com probabilidade de \frac{91}{216}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (já peguei tudo do texto):
  • Há três dados cúbicos idênticos com faces numeradas de 1 a 6.
  • Artur escolheu dois desses dados e os lança; João ficou com o terceiro dado e também o lança.
  • Para Artur considera-se o maior número obtido nos dois dados que ele lançou (ou seja, o máximo dos dois).
  • Comparam-se o maior número de Artur com o número de João. Vence quem tiver o maior número; em caso de empate, a vitória é de João.
    A pergunta do enunciado: qual jogador tem a maior probabilidade de vitória, e qual é essa probabilidade?

Passo 2

Estratégia de solução (o que vamos calcular):
  • Vou obter a distribuição do máximo de dois dados (isto é, para cada k=1,\dots,6 achar \Pr(\text{máx}=k)á).
  • Depois, para cada k, calculo a probabilidade de João obter um número menor que k, pois Artur ganha exatamente quando o máximo dele é estritamente maior que o número de João.
  • Somando sobre todos os k obtenho \Pr(\text{Artur vence}). Por complementar obtenho \Pr(\text{João vence})ã.
Antes de calcular, uma explicação didática: se X_1,X_2 são os resultados dos dois dados de Artur e M=\max(X_1,X_2), então
\Pr(M\le k)=\Pr(X_1\le k,\;X_2\le k)=\left(\frac{k}{6}\right)^2,
porque cada dado tem probabilidade k/6 de dar valor \le k e os lançamentos são independentes. A partir daí obtemos a probabilidade pontual
\Pr(M=k)=\Pr(M\le k)-\Pr(M\le k-1).
Esta é a fórmula padrão para passar da função de distribuição acumulada (CDF) para a função massa de probabilidade (PMF) em variáveis discretas.

Passo 3

Calcular a PMF do máximo M. Para k=1,\dots,6,
\Pr(M=k)=\left(\frac{k}{6}\right)^2-\left(\frac{k-1}{6}\right)^2 =\frac{k^2-(k-1)^2}{36}=\frac{2k-1}{36}.
Então temos explicitamente \Pr(M=k)=\dfrac{2k-1}{36}.

Passo 4

Agora calcular \Pr(\text{Artur vence}). Artur vence exatamente quando M>J, sendo J o resultado de João. Condicionalmente a M=k, a probabilidade de João ter valor menor que k é \dfrac{k-1}{6}. Assim
\Pr(\text{Artur vence})=\sum_{k=1}^{6}\Pr(M=k)\Pr(J<k) =\sum_{k=1}^{6}\frac{2k-1}{36}\cdot\frac{k-1}{6}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
\Pr(\text{Artur vence})=\frac{1}{216}\sum_{k=1}^{6}(2k-1)(k-1).

Passo 5

Calcular a soma \sum_{k=1}^{6}(2k-1)(k-1). Primeiro expandimos:
(2k-1)(k-1)=2k^2-3k+1.
Usamos as somas conhecidas \sum_{k=1}^{6}k=21 e \sum_{k=1}^{6}k^2=91. Então
\sum_{k=1}^{6}(2k^2-3k+1)=2\cdot91-3\cdot21+6\cdot1=182-63+6=125.
Portanto
\Pr(\text{Artur vence})=\frac{125}{216}.

Passo 6

Para consistência, calculo também \Pr(\text{João vence})ã por complemento:
\Pr(\text{João vence})=1-\Pr(\text{Artur vence})=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}.ã
Uma verificação alternativa e direta: se João tira j, então Artur perde (ou empata, que dá vitória a João) exatamente quando M\le j, cuja probabilidade é \left(\dfrac{j}{6}\right)^2. Assim
\Pr(\text{João vence})=\sum_{j=1}^{6}\Pr(J=j)\Pr(M\le j) =\sum_{j=1}^{6}\frac{1}{6}\left(\frac{j}{6}\right)^2 =\frac{1}{216}\sum_{j=1}^{6}j^2=\frac{91}{216},ã
o que bate com o complemento acima. Numericamente,
\Pr(\text{Artur vence})=\frac{125}{216}\approx0{,}579,\qquad \Pr(\text{João vence})=\frac{91}{216}\approx0{,}421.ã

Passo 7

Conclusão comparativa: \dfrac{125}{216}>\dfrac{91}{216}, logo Artur tem a maior probabilidade de vitória. A probabilidade de Artur vencer é \dfrac{125}{216}.

Resposta

Artur, com probabilidade de \dfrac{125}{216}

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