Exercício 23 - Modelando um amortecedor gasto
Considere um carro de massa
com os amortecedores completamente gastos. Sabe-se que quando o uma pessoa de massa
sobe no centro de gravidade do carro, ele abaixa
. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um quebra-molas, o carro oscila verticalmente em MHS. Nessas condições, modele a situação com um sistema do tipo massa-mola, estimando o período e a frequência de oscilação do sistema.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Massa do carro:
. - Massa da pessoa que sobe no carro:
. - Afundamento (deflexão estática) quando a pessoa sobe:
. - A situação dinâmica quando o carro passa por um quebra-molas será modelada como um sistema massa-mola em movimento harmônico simples (MHS) e pede-se estimar o período e a frequência de oscilação.
O que o exercício pede:
- Estimar a constante elástica equivalente
do conjunto mola(s) a partir do afundamento causado pela pessoa. - Calcular a frequência (e período) de pequenas oscilações verticais do sistema quando a pessoa está dentro do carro (ou seja, massa total em movimento é
).
Passo 2
Modelo físico e como obter a constante elástica
.
Ideia física simples (quase sempre usada em provas): a pessoa ao subir adiciona um peso extra
que, em equilíbrio estático, é suportado pela(s) mola(s). A lei de Hooke relaciona a força elástica com a deflexão:
onde:
-
é a constante elástica equivalente do sistema (unidade ), -
é a deflexão em metros, -
é a força elástica em newtons.
No equilíbrio estático o peso adicional é equilibrado pela força elástica:
Aqui:
-
é a massa adicionada ( ), -
é a aceleração da gravidade (usarei ), -
é .
Isolando
:
Agora calculamos passo a passo:
- Primeiro calcule
: . - Em seguida
Dividindo:
Comentário didático: esse
é a constante efetiva do conjunto de molas do carro (todas as suspensões em conjunto). Não precisamos detalhar quantas molas há, apenas a constante equivalente que relaciona força total com deslocamento do centro de massa.
Passo 3
Equação de movimento para pequenas oscilações e expressão para a frequência angular.
Para pequenas oscilações em torno do equilíbrio, o sistema massa-mola sem amortecimento satisfaz a equação:
onde:
-
é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio, -
é a massa que participa do movimento (aqui o carro mais a pessoa: ), -
é a aceleração vertical.
A solução desse MHS tem frequência angular
Aqui
.
Substituindo os valores (usando o
calculado no passo anterior):
Calculemos:
Explicação didática:
tem unidade rad/s e determina quão rápida é a oscilação angular do sistema. Quanto maior
(mais rígido) ou menor a massa, maior será
.
Passo 4
Cálculo do período
e da frequência
em hertz.
Relações conhecidas para MHS:
Usando
:
E a frequência em hertz:
Interpretação prática: o carro com a pessoa dentro oscilaria aproximadamente uma vez a cada
segundos, ou quase
oscilações por segundo.
Passo 5
Observações finais e hipóteses usadas (úteis para prova/entender quando o resultado muda).
- Suposições feitas: molas lineares (lei de Hooke válida) e comportamento linear nas pequenas deflexões; amortecimento desprezado (amortecedores “gastos” → pouco amortecimento, então modelo MHS sem amortecimento é razoável para estimativa); a pessoa fica junto com o carro (massa em movimento total
). - Se as molas não fossem lineares ou houvesse amortecimento significativo, o movimento não seria MHS perfeito e a amplitude decairia com o tempo; entretanto
e para pequena amplitude ainda são bem estimados por esse método. - Se o enunciado tivesse pedido a constante de cada mola individual e soubéssemos o número de molas, dividiríamos
adequadamente (por exemplo, para quatro molas idênticas em paralelo, cada mola teria ).
Você conseguiu! Em prova, os passos são: obter
com equilíbrio estático usando a massa extra, depois usar
e obter
e
.