Exercício 23 - Modelando um amortecedor gasto

Considere um carro de massa M=1000 \mathrm{~kg} com os amortecedores completamente gastos. Sabe-se que quando o uma pessoa de massa m=100 \mathrm{~kg} sobe no centro de gravidade do carro, ele abaixa 0,028 \mathrm{~m}. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um quebra-molas, o carro oscila verticalmente em MHS. Nessas condições, modele a situação com um sistema do tipo massa-mola, estimando o período e a frequência de oscilação do sistema.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Massa do carro: M=1000\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da pessoa que sobe no carro: m=100\\ \mathrm{kg}.
  • Afundamento (deflexão estática) quando a pessoa sobe: \Delta x=0,028\\ \mathrm{m}.
  • A situação dinâmica quando o carro passa por um quebra-molas será modelada como um sistema massa-mola em movimento harmônico simples (MHS) e pede-se estimar o período e a frequência de oscilação.
O que o exercício pede:
  • Estimar a constante elástica equivalente k do conjunto mola(s) a partir do afundamento causado pela pessoa.
  • Calcular a frequência (e período) de pequenas oscilações verticais do sistema quando a pessoa está dentro do carro (ou seja, massa total em movimento é M+m).

Passo 2

Modelo físico e como obter a constante elástica k.
Ideia física simples (quase sempre usada em provas): a pessoa ao subir adiciona um peso extra m g que, em equilíbrio estático, é suportado pela(s) mola(s). A lei de Hooke relaciona a força elástica com a deflexão:
F_{\text{el}} = k\,\Delta x,
onde:
  • k é a constante elástica equivalente do sistema (unidade \mathrm{N/m}),
  • \Delta x é a deflexão em metros,
  • F_{\text{el}} é a força elástica em newtons.
No equilíbrio estático o peso adicional é equilibrado pela força elástica:
m g = k\,\Delta x.
Aqui:
  • m é a massa adicionada ( 100\\ \mathrm{kg}),
  • g é a aceleração da gravidade (usarei g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • \Delta x é 0,028\\ \mathrm{m}.
Isolando k:
k = \frac{m g}{\Delta x}.
Agora calculamos passo a passo:
  • Primeiro calcule m g: 100\cdot 9,8 = 980\\ \mathrm{N}.
  • Em seguida
k = \frac{980\\ \mathrm{N}}{0,028\\ \mathrm{m}}.
Dividindo:
k = 35000\\ \mathrm{N/m}.
Comentário didático: esse k é a constante efetiva do conjunto de molas do carro (todas as suspensões em conjunto). Não precisamos detalhar quantas molas há, apenas a constante equivalente que relaciona força total com deslocamento do centro de massa.

Passo 3

Equação de movimento para pequenas oscilações e expressão para a frequência angular.
Para pequenas oscilações em torno do equilíbrio, o sistema massa-mola sem amortecimento satisfaz a equação:
(m_{\text{total}})\,\ddot{y} + k\,y = 0,
onde:
  • y(t) é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio,
  • m_{\text{total}} é a massa que participa do movimento (aqui o carro mais a pessoa: M+m),
  • \ddot{y} é a aceleração vertical.
A solução desse MHS tem frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{k}{m_{\text{total}}}}.
Aqui m_{\text{total}} = M + m = 1000\\ \mathrm{kg} + 100\\ \mathrm{kg} = 1100\\ \mathrm{kg}.
Substituindo os valores (usando o k calculado no passo anterior):
\omega = \sqrt{\frac{35000}{1100}}.
Calculemos:
\frac{35000}{1100}=31{,}818\ldots
\omega \approx \sqrt{31{,}818\ldots}\approx 5{,}642\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação didática: \omega tem unidade rad/s e determina quão rápida é a oscilação angular do sistema. Quanto maior k (mais rígido) ou menor a massa, maior será \omega.

Passo 4

Cálculo do período T e da frequência f em hertz.
Relações conhecidas para MHS:
T = \frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.
Usando \omega\approx 5{,}642\\ \mathrm{rad/s}:
T = \frac{2\pi}{5{,}642}\approx \frac{6{,}283185\ldots}{5{,}642}\approx 1{,}114\\ \mathrm{s}.
E a frequência em hertz:
f=\frac{1}{T}\approx \frac{1}{1{,}114}\approx 0{,}898\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação prática: o carro com a pessoa dentro oscilaria aproximadamente uma vez a cada 1{,}11 segundos, ou quase 0{,}9 oscilações por segundo.

Passo 5

Observações finais e hipóteses usadas (úteis para prova/entender quando o resultado muda).
  • Suposições feitas: molas lineares (lei de Hooke válida) e comportamento linear nas pequenas deflexões; amortecimento desprezado (amortecedores “gastos” → pouco amortecimento, então modelo MHS sem amortecimento é razoável para estimativa); a pessoa fica junto com o carro (massa em movimento total M+m).
  • Se as molas não fossem lineares ou houvesse amortecimento significativo, o movimento não seria MHS perfeito e a amplitude decairia com o tempo; entretanto \omega e T para pequena amplitude ainda são bem estimados por esse método.
  • Se o enunciado tivesse pedido a constante de cada mola individual e soubéssemos o número de molas, dividiríamos k adequadamente (por exemplo, para quatro molas idênticas em paralelo, cada mola teria k_{\text{mola}}=k/4).
Você conseguiu! Em prova, os passos são: obter k com equilíbrio estático usando a massa extra, depois usar \omega=\sqrt{k/(M+m)} e obter T e f.

Resposta

T \approx 1,114\\ \mathrm{s}
f \approx 0,898\\ \mathrm{Hz}

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