Questão 18.
Ache duas soluções linearmente independentes de
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e pede duas soluções linearmente independentes. O conteúdo é EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis; vamos usar série de potências em torno de
.
Passo 2
Suponha
Então
Substituindo na EDO, realocando índices para obter potências
e igualando coeficientes a zero, chega-se à recorrência
com as condições iniciais vindas dos termos de menor grau:
Passo 3
Para a parte par da série, fixe
e
. Da recorrência vem
Logo a primeira solução é
Passo 4
Para a parte ímpar da série, fixe
e
. Da recorrência vem
Logo a segunda solução independente é
Passo 5
Como
é uma série par e
é uma série ímpar, elas são linearmente independentes e formam a base geral da solução da EDO.