Questão 18.

Ache duas soluções linearmente independentes de
y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-x^{2} y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y'' - x\,y' - x^2\,y = 0
e pede duas soluções linearmente independentes. O conteúdo é EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis; vamos usar série de potências em torno de x=0.

Passo 2

Suponha
y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n.
Então
y'=\sum_{n=1}^\infty n\,a_n x^{n-1},\qquad y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_n x^{n-2}.
Substituindo na EDO, realocando índices para obter potências x^n e igualando coeficientes a zero, chega-se à recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} - n\,a_n - a_{n-2}=0, \quad n\ge2,
com as condições iniciais vindas dos termos de menor grau:
2\,a_2=0, \qquad 6\,a_3 - a_1=0.

Passo 3

Para a parte par da série, fixe a_0=1 e a_1=0. Da recorrência vem
a_2=0,\quad a_4=\frac{a_0}{12},\quad a_6=\frac{a_0}{90},\dots
Logo a primeira solução é
y_1(x)=1 + \frac{x^4}{12} + \frac{x^6}{90} + \cdots.

Passo 4

Para a parte ímpar da série, fixe a_0=0 e a_1=1. Da recorrência vem
a_3=\frac{1}{6},\quad a_5=\frac{3}{40},\dots
Logo a segunda solução independente é
y_2(x)=x + \frac{x^3}{6} + \frac{3\,x^5}{40} + \cdots.

Passo 5

Como y_1 é uma série par e y_2 é uma série ímpar, elas são linearmente independentes e formam a base geral da solução da EDO.

Resposta

y_1(x)=1 + \tfrac{x^4}{12} + \tfrac{x^6}{90} + \cdots y_2(x)=x + \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{3\,x^5}{40} + \cdots

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