Questão 04: Mostre que se
então
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são inteiros positivos tais que
, e pede para mostrar que
O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade, máximo divisor comum e ordens em
.
Passo 2
Como
, existe inteiro
tal que
. Usando a fatoração de soma de potências, temos
Logo
. De modo análogo, escrevendo
, obtemos
e assim
. Portanto
Passo 3
Seja
Cada primo
que divide
satisfaz
Seja
a ordem de
em
. Então
e
, logo
. Daí
Isso vale para todo primo divisor de
, então
Passo 4
Juntando os resultados dos passos anteriores, temos
portanto