Questão 18 Calcule a soma de todos os números formados pelas permutações dos dígitos 1,2,3,4 e 5 , isto é: 12345+\cdots+54321.

Passo 1

O enunciado pede a soma de todos os números de cinco dígitos formados pelas permutações dos dígitos \{1,2,3,4,5\}. Aqui usamos combinatória e a ideia de que, em permutações completas, cada dígito aparece igualmente vezes em cada posição decimal.

Passo 2

O número total de permutações é 5! = 120. Para uma posição decimal fixa (unidades, dezenas, centenas, milhares ou dezenas de milhares), escolhemos ali um dígito e permutamos os outros quatro nos demais lugares, o que dá 4! = 24 configurações. Logo, cada dígito aparece exatamente 24 vezes em cada posição.

Passo 3

A soma dos dígitos disponíveis é
1+2+3+4+5 = 15.
Como cada um desses cinco dígitos aparece 24 vezes em cada posição, a soma dos valores (sem considerar o peso decimal) que surge em cada casa é
15 \times 24 = 360.

Passo 4

Agora incorporamos o valor posicional: a contribuição total é
360 \times 10^4 + 360 \times 10^3 + 360 \times 10^2 + 360 \times 10^1 + 360 \times 10^0 = 360\,(10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 1) = 360 \times 11111 = 3999960.

Resposta

3999960

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