A definição por recorrência \left\{\begin{array}{l}a_{1}=4 \\\ e \\\ a_{p}=a_{p-1}+5\end{array}\right., com p \in \mathbb{N}, pode definir uma sequência. Determine-a.

Passo 1

O enunciado define por recorrência a sequência
\begin{cases} a_{1} = 4,\\\ a_{p} = a_{p-1} + 5,\quad p\in\mathbb{N},\;p\ge2 \end{cases}
e pede a expressão explícita de a_p. O conteúdo envolvido é o de progressão aritmética.

Passo 2

Note que
a_p - a_{p-1} = 5
para todo p\ge2. Isso mostra que a diferença entre termos consecutivos é constante e igual a 5, característica de uma progressão aritmética de razão d=5.

Passo 3

Sabemos que, em uma progressão aritmética de primeiro termo a_1 e razão d, o n-ésimo termo é dado por
a_n = a_1 + (n-1)\,d.

Passo 4

Aplicando a_1=4 e d=5 na fórmula geral, para p\in\mathbb{N}, obtém-se
a_p = 4 + (p-1)\cdot 5 = 5p - 1.

Resposta

a_p = 5p - 1,\quad p\in\mathbb{N}.

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