Questão 19 (Prof. Matheus Pinheiro) -

Um caminhão de massa M possui 4 rodas. Quando os freios são acionados a sapata do freio em cada roda atrita no disco de metal produzindo dissipação de energia pelo mecanismo de calor. Vamos supor que este calor é usado apenas para aquecer o disco na roda. Um dia, o caminhão estava descendo em uma estrada inclinada em ângulo \theta com a horizontal e para manter uma velocidade constante v o motorista teve que aplicar os freios. A única outra força dissipativa, além da força de frenagem, no caminhão é a força de resistência do ar que é igual a F.
Supondo que apenas os discos perdem energia para ambiente e que tal perda se dá apenas pelo mecanismo de radiação térmica, pode-se afirmar que a temperatura final de cada disco será:
Dados:
  • A área da superfície do disco de metal em cada roda = A.
  • A temperatura do ambiente =\mathrm{T}_{0}.
  • Constante de Stefan-Boltzmann =\sigma.
  • Emissividade do disco de metal =\varepsilon.
  • Suponha que não haja aquecimento dos discos devido ao atrito do ar.
    a) T=\left[T_{0}^{4}+\frac{M g \operatorname{sen} \theta v}{\varepsilon \sigma A}\right]^{1 / 4}.
    b) T=\left[T_{0}^{4}+\frac{(M g \operatorname{sen} \theta-F) v}{\varepsilon \sigma A}\right]^{1 / 4}.
    c) T=\left[T_{0}^{4}+\frac{F v}{\varepsilon \sigma A}\right]^{1 / 4}.
    d) T=\left[T_{0}^{4}+\frac{(M g \operatorname{sen} \theta+F) v}{\varepsilon \sigma A}\right]^{1 / 4}.
    e) T=\left[T_{0}^{4}+\frac{(M g \operatorname{sen} \theta-F) v}{4 \varepsilon \sigma A}\right]^{1 / 4}.

Passo 1

O enunciado trata de um caminhão de massa M descendo uma rampa com inclinação \theta a velocidade constante v. Há duas forças dissipativas: a resistência do ar F e a força de frenagem B. O trabalho realizado pela frenagem gera calor nos quatro discos de freio, que em regime permanente é perdido por radiação térmica. Precisamos usar: equilíbrio de forças, potência dissipada pelo atrito e potência radiada pelos discos (lei de Stefan–Boltzmann).

Passo 2

Equilíbrio de forças na direção do movimento (velocidade constante) dá
M g \sin\theta - F - B = 0
logo a força de frenagem é
B = M g \sin\theta - F.

Passo 3

A potência dissipada pelos freios (transformada em calor) é
P_{\rm diss} = B\,v = \bigl(M g \sin\theta - F\bigr)\,v.

Passo 4

Cada disco, de área A, radia segundo a lei de Stefan–Boltzmann com emissividade \varepsilon. Em regime estacionário, a soma da potência radiada pelos quatro discos é
P_{\rm rad} = 4\;\varepsilon\,\sigma\,A\;\bigl(T^4 - T_{0}^{4}\bigr),
onde T é a temperatura final de cada disco e T_{0} a temperatura ambiente.

Passo 5

Em regime permanente igualamos potência dissipada e potência radiada:
\bigl(M g \sin\theta - F\bigr)\,v = 4\,\varepsilon\,\sigma\,A\,(T^4 - T_{0}^{4}).
Isolando T, obtemos
T^4 = T_{0}^{4} + \frac{(M g \sin\theta - F)\,v}{4\,\varepsilon\,\sigma\,A} \quad\Longrightarrow\quad T = \Biggl[T_{0}^{4} + \frac{(M g \sin\theta - F)\,v}{4\,\varepsilon\,\sigma\,A}\Biggr]^{1/4}.

Resposta

A alternativa correta é a letra (e).

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