Questão 19. Fazendo a mudança de variável v=y-4 x, resolver
\frac{d y}{d x}=(y-4 x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial \r
\frac{dy}{dx} = (y - 4x)^{2} \r
fazendo a mudança de variável \r
v = y - 4x. \r
O que vamos usar: 1) definição de v, 2) cálculo de \frac{dv}{dx}, 3) separação de variáveis, 4) integração de uma fração parcial, e 5) voltar a y.

Passo 2

Definindo v = y - 4x, temos
\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(y - 4x) = \frac{dy}{dx} - 4.
Como \frac{dy}{dx}=(y-4x)^2=v^2, isso dá

Passo 3

\frac{dv}{dx} = v^2 - 4.
Agora a equação está em termos de v e x.

Passo 4

Separamos variáveis em
\frac{dv}{v^2 - 4} = dx.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Sabendo que
\int \frac{dv}{v^2 - 4} =\frac{1}{4}\ln\biggl|\frac{v-2}{v+2}\biggr| + C,
temos
\frac{1}{4}\ln\biggl|\frac{v-2}{v+2}\biggr| = x + C_1.

Passo 6

Multiplicamos por 4 e exponenciamos:
\ln\biggl|\frac{v-2}{v+2}\biggr| = 4x + C_2 \quad\Longrightarrow\quad \biggl|\frac{v-2}{v+2}\biggr| = e^{4x+C_2} = C e^{4x}.
Para simplificar, escrevemos
\frac{v-2}{v+2} = K e^{4x},
onde K é constante real (possa absorver o sinal).

Passo 7

Resolvendo para v:
v - 2 = K e^{4x}(v + 2) \;\Longrightarrow\; v\bigl(1 - K e^{4x}\bigr) = 2\bigl(1 + K e^{4x}\bigr) \;\Longrightarrow\; v = 2\,\frac{1 + K e^{4x}}{1 - K e^{4x}}.

Passo 8

Voltando a y, lembrando v=y-4x:
y - 4x = 2\,\frac{1 + K e^{4x}}{1 - K e^{4x}} \quad\Longrightarrow\quad y = 4x + 2\,\frac{1 + K e^{4x}}{1 - K e^{4x}}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = 4x + 2\,\frac{1 + K e^{4x}}{1 - K e^{4x}},
em que K é constante arbitrária.

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