Questão 18. Usando a mudança de variável v=x y, resolva
\left(y-x y^{2}\right) d x-\left(x+x^{2} y\right) d y=0
(Resp. x= Cye { }^{x y}. )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(y - x\,y^{2}\bigr)\,dx \;-\;\bigl(x + x^{2}y\bigr)\,dy = 0
usando a mudança de variável v = x\,y. Vamos transformar a equação em uma forma separável.

Passo 2

Definimos v = x\,y. Diferenciando obtemos
dv = y\,dx + x\,dy
e, isolando dx,
dx = \frac{dv - x\,dy}{y}.

Passo 3

Substituindo dx na equação original:
\bigl(y - x y^{2}\bigr)\frac{dv - x\,dy}{y} \;-\;(x + x^{2}y)\,dy = 0.
Como y - x y^{2} = y(1 - x y) = y(1 - v) e x + x^{2}y = x(1 + x y)=x(1+v), temos
(1 - v)(dv - x\,dy) - x(1+v)\,dy = 0 \;\Longrightarrow\; (1 - v)\,dv - (1-v)x\,dy - x(1+v)\,dy = 0.
Os termos em dy somam -[(1-v)x + x(1+v)]\,dy = -2x\,dy. Logo
(1 - v)\,dv - 2x\,dy = 0.
Como x = \tfrac{v}{y}, segue
(1 - v)\,dv - \frac{2v}{y}\,dy = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{1 - v}{v}\,dv = \frac{2}{y}\,dy.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
\int\Bigl(\frac{1}{v} - 1\Bigr)\,dv \;=\; \int \frac{2}{y}\,dy \;\Longrightarrow\; \ln|v| - v = 2\ln|y| + C.

Passo 5

Reorganizando,
\ln\!\bigl(\tfrac{v}{y^{2}}\bigr) = v + C \;\Longrightarrow\; \frac{v}{y^{2}} = C_{1} e^{v}.
Voltando a v = x\,y,
\frac{x\,y}{y^{2}} = C_{1} e^{x\,y} \;\Longrightarrow\; \frac{x}{y} = C_{1} e^{x\,y} \;\Longrightarrow\; x = C_{1}\,y\,e^{x\,y}.

Resposta

x = C\,y\,e^{x\,y}.

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