Questão-19 - (IFPI)

Fez-se uma pesquisa sobre a preferência dos consumidores de uma loja por três tipos de feijões, a saber, carioca, branco e preto. Revelou- se que dos 320 fregueses entrevistados, 170 preferem o feijão carioca, 200 preferem o feijão branco, 190 preferem o feijão preto, 90 preferem os feijões carioca e branco, 70 preferem os feijões carioca e preto, 110 preferem os feijões branco e preto. Quantos consumidores declararam preferir os três tipos de feijão?
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 80

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Os dados (todos extraídos do enunciado) são:
  • Total de entrevistados: \,320\,.
  • Preferem feijão carioca: \,170\,.
  • Preferem feijão branco: \,200\,.
  • Preferem feijão preto: \,190\,.
  • Preferem carioca e branco (interseção carioca∩branco): \,90\,.
  • Preferem carioca e preto (interseção carioca∩preto): \,70\,.
  • Preferem branco e preto (interseção branco∩preto): \,110\,.
O enunciado pergunta: Quantos consumidores declararam preferir os três tipos de feijão (ou seja, a interseção das três preferências)?

Passo 2

Definir símbolos para manter tudo organizado (isso ajuda muito na prova):
  • Seja A o conjunto das pessoas que preferem feijão carioca. Então |A|=\\\ 170.
  • Seja B o conjunto das pessoas que preferem feijão branco. Então |B|=\\\ 200.
  • Seja C o conjunto das pessoas que preferem feijão preto. Então |C|=\\\ 190.
  • As interseções dadas: |A\cap B|=90, |A\cap C|=70, |B\cap C|=110.
  • Queremos |A\cap B\cap C|, o número de pessoas que preferem os três.
Explicando o que cada símbolo significa: |A| é a quantidade de elementos (pessoas) no conjunto A. |A\cap B| é a quantidade que está tanto em A quanto em B. |A\cap B\cap C| é a quantidade que está em todos os três conjuntos.

Passo 3

Apresentar a fórmula que vamos usar (princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos). Ela relaciona o número total de pessoas que preferem pelo menos um tipo com as contagens individuais e de interseções:
|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|.
Intuição da fórmula (breve, mas clara):
  • Somando |A|+|B|+|C| cada pessoa que gosta de dois tipos foi contada duas vezes; por isso subtrai-se as três interseções de pares para corrigir essa dupla contagem.
  • Porém, quem gosta dos três foi contado três vezes na soma inicial e depois subtraído três vezes nas correções de pares, ficando zerado — por isso é preciso somar |A\cap B\cap C| no final para voltar a contar essas pessoas uma vez.

Passo 4

Assumir que todos os entrevistados declararam preferência por pelo menos um dos tipos (o enunciado considera a pesquisa sobre preferência entre esses três tipos), então:
|A\cup B\cup C| = 320.
Agora podemos aplicar a fórmula do passo anterior, substituindo os valores conhecidos e deixando |A\cap B\cap C| como incógnita.

Passo 5

Aplicar a fórmula com os números fornecidos. Substituindo:
320 = 170 + 200 + 190 - 90 - 70 - 110 + |A\cap B\cap C|.
Explico cada termo usado aqui: \,170,200,190 são as preferências individuais; \,90,70,110 são as preferências de pares; o último termo é a quantidade que queremos encontrar.

Passo 6

Fazer as somas e subtrações passo a passo (assim dá para fazer à mão na prova):
Primeiro some as preferências individuais:
170 + 200 + 190 = 560.
Some as interseções de pares:
90 + 70 + 110 = 270.
Logo a equação fica
320 = 560 - 270 + |A\cap B\cap C|.
Calcule 560 - 270:
560 - 270 = 290.
Portanto
320 = 290 + |A\cap B\cap C|.
Isolando a incógnita:
|A\cap B\cap C| = 320 - 290 = 30.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: obtivemos |A\cap B\cap C| = 30. Esse valor é não negativo e razoável diante das interseções de pares dadas (por exemplo, não ultrapassa nenhuma interseção de par), então faz sentido. Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) 30

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