Questão-19 - (IFPI)
Fez-se uma pesquisa sobre a preferência dos consumidores de uma loja por três tipos de feijões, a saber, carioca, branco e preto. Revelou- se que dos 320 fregueses entrevistados, 170 preferem o feijão carioca, 200 preferem o feijão branco, 190 preferem o feijão preto, 90 preferem os feijões carioca e branco, 70 preferem os feijões carioca e preto, 110 preferem os feijões branco e preto. Quantos consumidores declararam preferir os três tipos de feijão?
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 80
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 80
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Os dados (todos extraídos do enunciado) são:
- Total de entrevistados:
. - Preferem feijão carioca:
. - Preferem feijão branco:
. - Preferem feijão preto:
. - Preferem carioca e branco (interseção carioca∩branco):
. - Preferem carioca e preto (interseção carioca∩preto):
. - Preferem branco e preto (interseção branco∩preto):
.
O enunciado pergunta: Quantos consumidores declararam preferir os três tipos de feijão (ou seja, a interseção das três preferências)?
Passo 2
Definir símbolos para manter tudo organizado (isso ajuda muito na prova):
- Seja
o conjunto das pessoas que preferem feijão carioca. Então . - Seja
o conjunto das pessoas que preferem feijão branco. Então . - Seja
o conjunto das pessoas que preferem feijão preto. Então . - As interseções dadas:
, , . - Queremos
, o número de pessoas que preferem os três.
Explicando o que cada símbolo significa:
é a quantidade de elementos (pessoas) no conjunto
.
é a quantidade que está tanto em
quanto em
.
é a quantidade que está em todos os três conjuntos.
Passo 3
Apresentar a fórmula que vamos usar (princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos). Ela relaciona o número total de pessoas que preferem pelo menos um tipo com as contagens individuais e de interseções:
Intuição da fórmula (breve, mas clara):
- Somando
cada pessoa que gosta de dois tipos foi contada duas vezes; por isso subtrai-se as três interseções de pares para corrigir essa dupla contagem. - Porém, quem gosta dos três foi contado três vezes na soma inicial e depois subtraído três vezes nas correções de pares, ficando zerado — por isso é preciso somar
no final para voltar a contar essas pessoas uma vez.
Passo 4
Assumir que todos os entrevistados declararam preferência por pelo menos um dos tipos (o enunciado considera a pesquisa sobre preferência entre esses três tipos), então:
Agora podemos aplicar a fórmula do passo anterior, substituindo os valores conhecidos e deixando
como incógnita.
Passo 5
Aplicar a fórmula com os números fornecidos. Substituindo:
Explico cada termo usado aqui:
são as preferências individuais;
são as preferências de pares; o último termo é a quantidade que queremos encontrar.
Passo 6
Fazer as somas e subtrações passo a passo (assim dá para fazer à mão na prova):
Primeiro some as preferências individuais:
Primeiro some as preferências individuais:
Some as interseções de pares:
Logo a equação fica
Calcule
:
Portanto
Isolando a incógnita:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: obtivemos
. Esse valor é não negativo e razoável diante das interseções de pares dadas (por exemplo, não ultrapassa nenhuma interseção de par), então faz sentido. Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
a) 30