Questão-18 - (Cefet MG)

Sejam \mathbf{Z} e \mathbf{Q}, respectivamente, os conjuntos dos números inteiros e racionais, o número que NÃO pertence ao conjunto (\mathbf{Z} \cup \mathbf{Q})-(\mathbf{Z} \cap \mathbf{Q}) é
a) 3,14
b) 1,33333 \ldots
c) -\frac{7}{5}
d) -1

Passo 1

O enunciado pede: determinar qual dos números listados NÃO pertence ao conjunto \bigl(\mathbb{Z}\cup\mathbb{Q}\bigr)-\bigl(\mathbb{Z}\cap\mathbb{Q}\bigr).
As informações fornecidas são:
  • \mathbb{Z} é o conjunto dos números inteiros.
  • \mathbb{Q} é o conjunto dos números racionais.
  • Opções:
    • (a) 3,14
    • (b) 1,33333\ldots
    • (c) -\dfrac{7}{5}
    • (d) -1

Passo 2

Vamos lembrar o significado das operações de conjuntos que aparecem:
  • União: A\cup B contém todos os elementos que estão em A ou em B (ou em ambos).
  • Interseção: A\cap B contém os elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo.
  • Diferença: A-B contém os elementos que estão em A mas não em B.
Também é importante observar a relação entre \mathbb{Z} e \mathbb{Q}. Todo inteiro é racional porque, para n\in\mathbb{Z}, pode escrever n=\dfrac{n}{1}, que é uma razão entre inteiros. Logo
\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}.

Passo 3

Usando \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q} podemos simplificar a expressão do conjunto:
  • \mathbb{Z}\cup\mathbb{Q}=\mathbb{Q} (porque a união com um subconjunto não aumenta o conjunto),
  • \mathbb{Z}\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z} (a interseção de um conjunto com seu superconjunto é o próprio subconjunto).
Portanto
\bigl(\mathbb{Z}\cup\mathbb{Q}\bigr)-\bigl(\mathbb{Z}\cap\mathbb{Q}\bigr) = \mathbb{Q}-\mathbb{Z}.

Passo 4

Interpretação: \mathbb{Q}-\mathbb{Z} é o conjunto dos números racionais que NÃO são inteiros. Ou seja, inclui frações e decimais racionais que não resultam em inteiro; exclui todos os inteiros.

Passo 5

Agora verificamos, para cada opção, se ela é um número racional não inteiro (ou seja, pertence a \mathbb{Q}-\mathbb{Z}) ou não.
  • Opção (a): 3,14. Este número é racional porque 3,14=\dfrac{314}{100}=\dfrac{157}{50}. Não é inteiro. Logo 3,14\in\mathbb{Q}-\mathbb{Z}.
  • Opção (b): 1,33333\ldots (com reticências) significa 1,\overline{3}, o decimal periódico 1,333\ldots. Esse número é racional. Uma forma clássica de ver é:
    seja x=1,\overline{3}. Então 10x=13,\overline{3}. Subtraindo, 9x=12, logo x=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}. Como \dfrac{4}{3} não é inteiro, temos 1,33333\ldots\in\mathbb{Q}-\mathbb{Z}.
  • Opção (c): -\dfrac{7}{5}. É explicitamente um racional e -\dfrac{7}{5}=-1,4 não é inteiro. Logo -\dfrac{7}{5}\in\mathbb{Q}-\mathbb{Z}.
  • Opção (d): -1. Este número é inteiro ( -1\in\mathbb{Z}). Como \mathbb{Q}-\mathbb{Z} exclui inteiros, segue que -1\notin\mathbb{Q}-\mathbb{Z}.

Resposta

(d) -1

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