Questão-18 - (Cefet MG)
Sejam
e
, respectivamente, os conjuntos dos números inteiros e racionais, o número que NÃO pertence ao conjunto
é
a) 3,14
b)
c)
d) -1
a) 3,14
b)
c)
d) -1
Passo 1
O enunciado pede: determinar qual dos números listados NÃO pertence ao conjunto
.
As informações fornecidas são:
As informações fornecidas são:
-
é o conjunto dos números inteiros. -
é o conjunto dos números racionais. - Opções:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (a)
Passo 2
Vamos lembrar o significado das operações de conjuntos que aparecem:
- União:
contém todos os elementos que estão em ou em (ou em ambos). - Interseção:
contém os elementos que estão em e em ao mesmo tempo. - Diferença:
contém os elementos que estão em mas não em .
Também é importante observar a relação entre
e
. Todo inteiro é racional porque, para
, pode escrever
, que é uma razão entre inteiros. Logo
Passo 3
Usando
podemos simplificar a expressão do conjunto:
-
(porque a união com um subconjunto não aumenta o conjunto), -
(a interseção de um conjunto com seu superconjunto é o próprio subconjunto).
Portanto
Passo 4
Interpretação:
é o conjunto dos números racionais que NÃO são inteiros. Ou seja, inclui frações e decimais racionais que não resultam em inteiro; exclui todos os inteiros.
Passo 5
Agora verificamos, para cada opção, se ela é um número racional não inteiro (ou seja, pertence a
) ou não.
-
Opção (a):
. Este número é racional porque . Não é inteiro. Logo . -
Opção (b):
(com reticências) significa , o decimal periódico . Esse número é racional. Uma forma clássica de ver é:
seja. Então . Subtraindo, , logo . Como não é inteiro, temos . -
Opção (c):
. É explicitamente um racional e não é inteiro. Logo . -
Opção (d):
. Este número é inteiro ( ). Como exclui inteiros, segue que .
Resposta
(d)