Questão 3 - [2,0 pts]. Um bloco de 600 gramas sem atrito está preso a uma mola ideal cuja constante é igual a
. Em t
a mola não está comprimida nem esticada, e o bloco se move no sentido negativo com
. Ache (a) a amplitude e (b) o ângulo de fase. (c) Escreva uma equação para a posição em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá um bloco preso a uma mola ideal sem atrito e pede três coisas. Informações dadas:
- massa do bloco:
. - constante da mola:
. - em
a mola não está comprimida nem esticada, isto é . - em
a velocidade do bloco é (sinal negativo indica movimento no sentido negativo).
Perguntas:
(a) achar a amplitude;
(b) achar o ângulo de fase;
(c) escrever uma equação para a posição.
Passo 2
Conceito e fórmula geral (aulas rápidas e práticas). Para um sistema massa-mola ideal sem atrito a solução do movimento harmônico simples é, em geral,
onde:
-
é a amplitude (máxima extensão da oscilação, sempre tomada positiva); -
é a frequência angular, dada por ; -
é a fase inicial (ângulo de fase) em radianos, que desloca a função no tempo.
A velocidade é a derivada temporal de. Derivando,
Essas duas fórmulas serão usadas com as condições iniciais
e
.
Passo 3
Calcular a frequência angular
. Usando
:
Podemos deixar
exatamente como
ou numericamente:
Passo 4
Aplicar a condição
. Substituindo
em
obtemos:
Isso implica
. As soluções gerais para
são
Ou seja,
pode ser
. Ainda não decidimos qual, vamos usar a condição da velocidade para escolher.
Passo 5
Aplicar a condição
. Substituindo
em
obtemos:
Rearranjando,
Como vimos no passo anterior
, então
. Avaliemos as alternativas:
- Se
, então e a equação fica , logo . - Se
(ou ), então e a equação fica , ou seja . Mas a amplitude definimos positiva, então descartamos essa escolha e aceitaremos .
Passo 6
Calcular numericamente a amplitude
usando
com
:
Valor numérico:
(forma exata
é conveniente e limpa; forma decimal arredondada a três algarismos significativos é
.)
Passo 7
Determinar a fase escolhida e escrever a equação final. Concluímos
. Assim a solução no formato padrão é
Podemos também usar uma forma trigonométrica equivalente mais simples, lembrando que
. Então uma forma alternativa conveniente é
Passo 8
Verificação rápida das condições iniciais para conferir que estamos corretos:
-
conforme dado. -
.
Emisso dá . Mas atenção: o fator numérico aqui está coerente porque . Portanto , que é exatamente a condição inicial.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(equivalente a
)