Questão 3 - [2,0 pts]. Um bloco de 600 gramas sem atrito está preso a uma mola ideal cuja constante é igual a 150 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Em t =0 a mola não está comprimida nem esticada, e o bloco se move no sentido negativo com 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ache (a) a amplitude e (b) o ângulo de fase. (c) Escreva uma equação para a posição em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá um bloco preso a uma mola ideal sem atrito e pede três coisas. Informações dadas:
  • massa do bloco: \,m=600\\ \text{g}=0{,}6\\ \text{kg}.
  • constante da mola: \,k=150\\ \text{N/m}.
  • em t=0 a mola não está comprimida nem esticada, isto é \,x(0)=0.
  • em t=0 a velocidade do bloco é \,v(0)=-5{,}0\\ \text{m/s} (sinal negativo indica movimento no sentido negativo).
    Perguntas:
    (a) achar a amplitude \,A;
    (b) achar o ângulo de fase \,\varphi;
    (c) escrever uma equação para a posição x(t).

Passo 2

Conceito e fórmula geral (aulas rápidas e práticas). Para um sistema massa-mola ideal sem atrito a solução do movimento harmônico simples é, em geral,
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • \,A é a amplitude (máxima extensão da oscilação, sempre tomada positiva);
  • \,\omega é a frequência angular, dada por \,\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}};
  • \,\varphi é a fase inicial (ângulo de fase) em radianos, que desloca a função no tempo.
    A velocidade é a derivada temporal de x(t). Derivando,
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Essas duas fórmulas serão usadas com as condições iniciais x(0) e v(0).

Passo 3

Calcular a frequência angular \,\omega. Usando \,\omega=\sqrt{k/m}:
\omega=\sqrt{\dfrac{150}{0{,}6}}=\sqrt{250}.
Podemos deixar \,\omega exatamente como \,\sqrt{250} ou numericamente:
\omega=\sqrt{250}\approx15{,}811388\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Aplicar a condição x(0)=0. Substituindo t=0 em x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) obtemos:
x(0)=A\cos(\varphi)=0.
Isso implica \cos(\varphi)=0. As soluções gerais para \cos(\varphi)=0 são
\varphi=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Ou seja, \varphi pode ser \frac{\pi}{2},\\ \frac{3\pi}{2},\\ \ldots. Ainda não decidimos qual, vamos usar a condição da velocidade para escolher.

Passo 5

Aplicar a condição v(0)=-5{,}0\\ \text{m/s}. Substituindo t=0 em v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi) obtemos:
v(0)=-A\omega\sin(\varphi)=-5{,}0.
Rearranjando,
A\omega\sin(\varphi)=5{,}0.
Como vimos no passo anterior \cos(\varphi)=0, então \sin(\varphi)=\pm 1. Avaliemos as alternativas:
  • Se \varphi=\frac{\pi}{2}, então \sin(\varphi)=1 e a equação fica A\omega=5, logo A=\dfrac{5}{\omega}.
  • Se \varphi=\frac{3\pi}{2} (ou -\frac{\pi}{2}), então \sin(\varphi)=-1 e a equação fica -A\omega=5, ou seja A=-\dfrac{5}{\omega}. Mas a amplitude A definimos positiva, então descartamos essa escolha e aceitaremos \varphi=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Calcular numericamente a amplitude A usando \,A=\dfrac{5}{\omega} com \,\omega=\sqrt{250}:
A=\frac{5}{\sqrt{250}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Valor numérico:
A=\frac{1}{\sqrt{10}}\approx0{,}3162277\\ \text{m}\approx0{,}316\\ \text{m}.
(forma exata \,A=1/\sqrt{10} é conveniente e limpa; forma decimal arredondada a três algarismos significativos é \,0{,}316\\ \text{m}.)

Passo 7

Determinar a fase escolhida e escrever a equação final. Concluímos \,\varphi=\dfrac{\pi}{2}. Assim a solução no formato padrão é
x(t)=A\cos\big(\omega t+\varphi\big)=\frac{1}{\sqrt{10}}\cos\!\big(\sqrt{250}\,t+\tfrac{\pi}{2}\big).
Podemos também usar uma forma trigonométrica equivalente mais simples, lembrando que \cos(\theta+\tfrac{\pi}{2})=-\sin(\theta). Então uma forma alternativa conveniente é
x(t)=-\frac{1}{\sqrt{10}}\sin\!\big(\sqrt{250}\,t\big).

Passo 8

Verificação rápida das condições iniciais para conferir que estamos corretos:
  • x(0)=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\cos(\tfrac{\pi}{2})=0 conforme dado.
  • v(t)=\dfrac{d}{dt}\!\left[-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin(\sqrt{250}\,t)\right]=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\cdot\sqrt{250}\cos(\sqrt{250}\,t)=-\cos(\sqrt{250}\,t).
    Em t=0 isso dá v(0)=-1. Mas atenção: o fator numérico aqui está coerente porque \dfrac{1}{\sqrt{10}}\cdot\sqrt{250}=\dfrac{\sqrt{250}}{\sqrt{10}}=\sqrt{25}=5. Portanto v(0)=-5, que é exatamente a condição inicial.

Resposta

(a) A=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\\ \text{m}\approx0{,}316\\ \text{m}
(b) \varphi=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{rad}\\ (90^\circ)
(c) x(t)=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\cos\!\big(\sqrt{250}\,t+\tfrac{\pi}{2}\big) (equivalente a x(t)=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin(\sqrt{250}\,t))

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