Determine o trabalho realizado pelo compo de força
sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta
definido pelos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o trabalho realizado pelo campo de força
sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta
que liga
a
.
Informações dadas:
o percurso é o segmento de reta entre
e
. A pergunta é: qual é o trabalho
realizado por
ao longo de
?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma didática): o trabalho realizado por um campo de forças
ao longo de uma curva
é o integral (curvilíneo) do produto escalar entre o campo e o vetor deslocamento diferencial. Em fórmula:
onde
. Na prática, parametrizamos a curva por
,
; então
e
Explicação do que aparece na fórmula:
é a velocidade (derivada da posição),
é o campo avaliado no ponto atual da curva, e o produto escalar mede a componente da força na direção do movimento — que é a contribuição ao trabalho.
Passo 3
Parametrização do segmento de reta
entre
e
. Uma parametrização padrão é a interpolação linear:
com
. Verificação rápida:
dá
e
dá
. A derivada é
Passo 4
Avaliar o campo ao longo da curva: substituímos
e
em
:
Agora fazemos o produto escalar com
:
Passo 5
Montamos a integral do trabalho usando a expressão do passo anterior:
Vamos integrar termo a termo. Lembrando a primitiva básica: a primitiva de
é
(porque ao derivar
vem
). Aplicando isso:
Portanto,
Simplificando o fator
com os
:
Passo 6
Avaliação nos limites
e
:
Isto é
(Nota didática: usei
e
.)
Passo 7
Método alternativo, mais rápido nesta situação (explicando a ideia): se o campo
for conservativo (isto é, existir uma função potencial
tal que
), então o trabalho entre dois pontos independe do caminho e vale
. Vamos verificar: para
podemos tentar
, pois
Assim
na região onde
e
(nossa curva está nessa região). Então
o mesmo resultado obtido pela integral direta. Esse método é útil porque evita integrais: basta achar a potencial e avaliar a diferença.
Passo 8
Resumo do raciocínio: tanto pela integral paramétrica direta quanto pela diferença de potencial (campo conservativo) chegamos à expressão