Determine o trabalho realizado pelo compo de força \vec{f}=\left(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}\right) sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta C definido pelos pontos P(1,2) e Q(3,4).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o trabalho realizado pelo campo de força \vec{f}=\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right) sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta C que liga P(1,2) a Q(3,4).
Informações dadas:
\vec{f}(x,y)=\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right),
o percurso é o segmento de reta entre P(1,2) e Q(3,4). A pergunta é: qual é o trabalho W realizado por \vec{f} ao longo de C?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma didática): o trabalho realizado por um campo de forças \vec{f} ao longo de uma curva C é o integral (curvilíneo) do produto escalar entre o campo e o vetor deslocamento diferencial. Em fórmula:
W=\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r},
onde d\vec{r}=(dx,dy). Na prática, parametrizamos a curva por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b]; então d\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,dt e
W=\int_{a}^{b}\vec{f}\big(x(t),y(t)\big)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Explicação do que aparece na fórmula: \vec{r}\,'(t) é a velocidade (derivada da posição), \vec{f}(x(t),y(t)) é o campo avaliado no ponto atual da curva, e o produto escalar mede a componente da força na direção do movimento — que é a contribuição ao trabalho.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta C entre P(1,2) e Q(3,4). Uma parametrização padrão é a interpolação linear:
\vec{r}(t)=P+t(Q-P)=(1,2)+t(2,2)=(1+2t,\;2+2t),
com t\in[0,1]. Verificação rápida: t=0 (1,2) e t=1 (3,4). A derivada é
\vec{r}\,'(t)=(2,2).

Passo 4

Avaliar o campo ao longo da curva: substituímos x=1+2t e y=2+2t em \vec{f}:
\vec{f}\big(\vec{r}(t)\big)=\left(\frac{1}{1+2t},\;\frac{1}{2+2t}\right).
Agora fazemos o produto escalar com \vec{r}\,'(t)=(2,2):
\vec{f}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t)=2\cdot\frac{1}{1+2t}+2\cdot\frac{1}{2+2t}.

Passo 5

Montamos a integral do trabalho usando a expressão do passo anterior:
W=\int_{0}^{1}\left(2\cdot\frac{1}{1+2t}+2\cdot\frac{1}{2+2t}\right)\,dt =2\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{1+2t}+\frac{1}{2+2t}\right)\,dt.
Vamos integrar termo a termo. Lembrando a primitiva básica: a primitiva de \frac{1}{a+bt} é \frac{1}{b}\ln|a+bt| (porque ao derivar \ln|a+bt| vem \frac{b}{a+bt}). Aplicando isso:
\int \frac{1}{1+2t}\,dt=\frac{1}{2}\ln|1+2t|,\qquad \int \frac{1}{2+2t}\,dt=\frac{1}{2}\ln|2+2t|.
Portanto,
W=2\left[\frac{1}{2}\ln|1+2t|+\frac{1}{2}\ln|2+2t|\right]_{0}^{1}.
Simplificando o fator 2 com os \tfrac{1}{2}:
W=\big[\ln|1+2t|+\ln|2+2t|\big]_{0}^{1}.

Passo 6

Avaliação nos limites t=0 e t=1:
W=\big(\ln(1+2\cdot 1)+\ln(2+2\cdot 1)\big)-\big(\ln(1+0)+\ln(2+0)\big).
Isto é
W=\ln(3)+\ln(4)-\ln(1)-\ln(2)=\ln(12)-\ln(2).
(Nota didática: usei \ln(a)+\ln(b)=\ln(ab) e \ln(1)=0.)

Passo 7

Método alternativo, mais rápido nesta situação (explicando a ideia): se o campo \vec{f} for conservativo (isto é, existir uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{f}), então o trabalho entre dois pontos independe do caminho e vale \varphi(Q)-\varphi(P). Vamos verificar: para \vec{f}=(1/x,1/y) podemos tentar \varphi(x,y)=\ln x+\ln y, pois
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{1}{x},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{1}{y}.
Assim \vec{f}=\nabla\varphi na região onde x>0 e y>0 (nossa curva está nessa região). Então
W=\varphi(Q)-\varphi(P)=(\ln 3+\ln 4)-(\ln 1+\ln 2)=\ln(12)-\ln(2),
o mesmo resultado obtido pela integral direta. Esse método é útil porque evita integrais: basta achar a potencial e avaliar a diferença.

Passo 8

Resumo do raciocínio: tanto pela integral paramétrica direta quanto pela diferença de potencial (campo conservativo) chegamos à expressão
W=\ln(12)-\ln(2).

Resposta

\ln 6

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