Questão 2 (20%)

Conceitue o que é a frequência amortecida ( \omega_{d} ) de uma solução natural de um circuito de segunda ordem com comportamento dinâmico subamortecido, considerando uma equação característica da forma
s^{2}+2 \alpha s+\omega_{0}^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede: conceituar o que é a frequência amortecida \omega_{d} de uma solução natural de um circuito de segunda ordem com comportamento dinâmico subamortecido, dado que a equação característica é
s^{2}+2\alpha s+\omega_{0}^{2}=0.
Informações e itens fornecidos:
  • A equação característica é \;s^{2}+2\alpha s+\omega_{0}^{2}=0\;.
  • Aparecem dois parâmetros: \alpha (coeficiente de amortecimento) e \omega_{0} (frequência natural não-amortecida).
  • O caso pedido é o subamortecido, ou seja a condição de parâmetros é \alpha<\omega_{0}.
  • O objetivo é dar uma definição clara e explicar o significado matemático e físico de \omega_{d}.

Passo 2

Vamos resolver a equação característica com a fórmula quadrática para obter as raízes \;s\;. Aplicando a fórmula:
s = \frac{-2\alpha \pm \sqrt{(2\alpha)^{2}-4\omega_{0}^{2}}}{2}.
Simplificando o numerador e denominador:
s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}.
Isto é apenas álgebra elementar: substitui-se a=1, b=2\alpha, c=\omega_0^2 na fórmula das raízes de um quadrático.

Passo 3

Agora aplicamos a condição subamortecida \alpha<\omega_{0}. Nesse caso o discriminante \alpha^{2}-\omega_{0}^{2} é negativo, então a raiz quadrada gera um termo imaginário. Escrevemos a parte imaginária explicitamente definindo \omega_{d} por
\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}.
As raízes ficam, portanto,
s = -\alpha \pm j\,\omega_{d},
onde j é a unidade imaginária ( j^{2}=-1). Note que \omega_{d} aqui é real e positiva porque \omega_{0}^{2}-\alpha^{2}>0 no caso subamortecido.

Passo 4

A partir dessas raízes complexas, a solução geral da equação diferencial homogênea (resposta natural no tempo) pode ser escrita como combinação de exponencial decrescente e oscilações:
x(t)=e^{-\alpha t}\big(C_{1}\cos(\omega_{d} t)+C_{2}\sin(\omega_{d} t)\big),
ou, de forma equivalente,
x(t)=A\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_{d} t-\varphi),
onde C_{1},C_{2} (ou A,\varphi) são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui aparece claramente o papel de \alpha e de \omega_{d}: \alpha determina a taxa de decaimento exponencial da amplitude; \omega_{d} determina a velocidade angular com que a variável oscila enquanto decai.

Passo 5

Vamos interpretar fisicamente \omega_{d}:
  • \omega_{d} é a frequência angular das oscilações efetivas observadas na resposta natural subamortecida; é medida em rad/s.
  • O período das oscilações amortecidas é \;T_{d}=\dfrac{2\pi}{\omega_{d}}\;.
  • A frequência em hertz é \;f_{d}=\dfrac{\omega_{d}}{2\pi}\;.
  • Enquanto \omega_{0} é a frequência natural do sistema sem amortecimento, \omega_{d} é a frequência observada quando há amortecimento: sempre vale \omega_{d}<\omega_{0} no caso subamortecido.

Passo 6

Relação entre \omega_{d} e \omega_{0} em termos de aproximações úteis:
  • Fórmula exata: \;\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}\;.
  • Se o amortecimento for pequeno ( \alpha\ll\omega_{0}), pode-se usar a expansão aproximada
\omega_{d}\approx \omega_{0}\sqrt{1-\left(\frac{\alpha}{\omega_{0}}\right)^{2}} \approx \omega_{0}\left(1-\tfrac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{\omega_{0}}\right)^{2}\right),
ou seja, a redução de frequência é de segunda ordem em \alpha/\omega_{0}. Isso explica por que, para amortecimento fraco, a frequência observada fica muito próxima de \omega_{0}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (apenas para ver números):
Suponha \omega_{0}=100\\ \text{rad/s} e \alpha=10\\ \text{s}^{-1} (a condição \alpha<\omega_{0} é satisfeita). Então
\omega_{d}=\sqrt{100^{2}-10^{2}}=\sqrt{10000-100}=\sqrt{9900}\approx 99{,}50\\ \text{rad/s},
o que dá o período \;T_{d}=2\pi/\omega_{d}\approx 0{,}0631\\ \text{s}. Nota-se que \omega_{d} é ligeiramente menor que \omega_{0}.

Passo 8

Resumo conceitual final (em palavras simples e amigáveis):
  • A frequência amortecida \omega_{d} é a velocidade angular com que o sistema oscillatório efetivamente oscila quando há amortecimento moderado (subamortecido).
  • Matematicamente vem da parte imaginária das raízes da equação característica e é dada por \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}.
  • Na resposta no tempo ela aparece como a frequência das funções seno e cosseno multiplicadas por um fator de decaimento exponencial e^{-\alpha t}.

Resposta

\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}, que é a frequência angular de oscilação da resposta natural subamortecida, aparecendo na solução x(t)=e^{-\alpha t}\big(C_{1}\cos(\omega_{d}t)+C_{2}\sin(\omega_{d}t)\big).

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