Questão 2 (20%)
Conceitue o que é a frequência amortecida (
) de uma solução natural de um circuito de segunda ordem com comportamento dinâmico subamortecido, considerando uma equação característica da forma
Passo 1
O enunciado pede: conceituar o que é a frequência amortecida
de uma solução natural de um circuito de segunda ordem com comportamento dinâmico subamortecido, dado que a equação característica é
Informações e itens fornecidos:
- A equação característica é
. - Aparecem dois parâmetros:
(coeficiente de amortecimento) e (frequência natural não-amortecida). - O caso pedido é o subamortecido, ou seja a condição de parâmetros é
. - O objetivo é dar uma definição clara e explicar o significado matemático e físico de
.
Passo 2
Vamos resolver a equação característica com a fórmula quadrática para obter as raízes
. Aplicando a fórmula:
Simplificando o numerador e denominador:
Isto é apenas álgebra elementar: substitui-se
,
,
na fórmula das raízes de um quadrático.
Passo 3
Agora aplicamos a condição subamortecida
. Nesse caso o discriminante
é negativo, então a raiz quadrada gera um termo imaginário. Escrevemos a parte imaginária explicitamente definindo
por
As raízes ficam, portanto,
onde
é a unidade imaginária (
). Note que
aqui é real e positiva porque
no caso subamortecido.
Passo 4
A partir dessas raízes complexas, a solução geral da equação diferencial homogênea (resposta natural no tempo) pode ser escrita como combinação de exponencial decrescente e oscilações:
ou, de forma equivalente,
onde
(ou
) são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui aparece claramente o papel de
e de
:
determina a taxa de decaimento exponencial da amplitude;
determina a velocidade angular com que a variável oscila enquanto decai.
Passo 5
Vamos interpretar fisicamente
:
-
é a frequência angular das oscilações efetivas observadas na resposta natural subamortecida; é medida em rad/s. - O período das oscilações amortecidas é
. - A frequência em hertz é
. - Enquanto
é a frequência natural do sistema sem amortecimento, é a frequência observada quando há amortecimento: sempre vale no caso subamortecido.
Passo 6
Relação entre
e
em termos de aproximações úteis:
- Fórmula exata:
. - Se o amortecimento for pequeno (
), pode-se usar a expansão aproximada
ou seja, a redução de frequência é de segunda ordem em
. Isso explica por que, para amortecimento fraco, a frequência observada fica muito próxima de
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (apenas para ver números):
Suponha e
(a condição
é satisfeita). Então
Suponha
o que dá o período
. Nota-se que
é ligeiramente menor que
.
Passo 8
Resumo conceitual final (em palavras simples e amigáveis):
- A frequência amortecida
é a velocidade angular com que o sistema oscillatório efetivamente oscila quando há amortecimento moderado (subamortecido). - Matematicamente vem da parte imaginária das raízes da equação característica e é dada por
. - Na resposta no tempo ela aparece como a frequência das funções seno e cosseno multiplicadas por um fator de decaimento exponencial
.