Identifique e esboce a superfície parametrizada por:
\mathbf{r}(u, v)=\left\langle u \cos v, u \sin v, u^{2}\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\mathbf{r}(u,v)=\langle u\cos v,\;u\sin v,\;u^{2}\rangle
e pede duas coisas: (1) identificar a superfície que essa parametrização descreve; (2) esboçar (desenhar) essa superfície. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As coordenadas cartesianas da superfície em função de u e v são x=u\cos v, y=u\sin v, z=u^{2}.
  • Os parâmetros naturais para v são ângulo circular (normalmente v\in[0,2\pi)); o parâmetro u aparece tanto em x,y como em z e pode ser tomado inicialmente em \mathbb{R} (vou discutir escolhas de domínio mais apropriadas).

Passo 2

Achar uma relação entre x,y,z para identificar a superfície. A partir da parametrização:
x^{2}+y^{2}=(u\cos v)^{2}+(u\sin v)^{2}=u^{2}(\cos^{2}v+\sin^{2}v)=u^{2}.
Pelo terceiro componente temos z=u^{2}. Substituindo u^{2}=x^{2}+y^{2} em z=u^{2} obtemos a equação implícita
z=x^{2}+y^{2}.
Essa é a equação clássica do paraboloide circular (paraboloide de revolução) com vértice na origem e abrindo no sentido positivo do eixo z.
Breve explicação do porquê: aqui u^{2} determina a altura z e também o quadrado do raio x^{2}+y^{2}. Para cada altura z\ge 0 a interseção com o plano z= constante é um círculo de raio \sqrt{z}.

Passo 3

Interpretação geométrica mais intuitiva (modo de pensar na prova):
  • Pense em coordenadas cilíndricas: normalmente x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z. A parametrização dada tem exatamente r=u, \theta=v e z=u^{2}. Ou seja, é a revolução da curva plana z=r^{2} ao redor do eixo z.
  • Para cada u fixo, variando v obtém-se um círculo no plano z=u^{2} com raio |u|. Para cada v fixo, variando u obtém-se a curva no plano radial com ângulo fixo v, que é a parábola z=u^{2} vista nesse plano (um ramo parabólico que tem vértice na origem).
Dica prática para reconhecer superfícies: sempre tente eliminar os parâmetros e ver se dá uma relação simples entre x,y,z. Aqui resultou direto em z=x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Domínio dos parâmetros e cobertura da superfície:
  • Se tomarmos u\in[0,\infty) e v\in[0,2\pi), obtemos uma parametrização que percorre cada ponto do paraboloide exatamente uma vez (exceto a borda u=0 que é o vértice).
  • Se permitirmos u\in\mathbb{R}, a parametrização cobre a mesma superfície duas vezes porque u e -u produzem o mesmo z e os mesmos x^{2}+y^{2}: há a relação \mathbf{r}(-u,v)=\mathbf{r}(u,v+\pi). Em provas geralmente escolhe-se u\ge 0 para evitar essa redundância.
  • Observação sobre regularidade: a parametrização é regular para u\neq 0 (vou mostrar o cálculo no próximo passo). No ponto u=0 (o vértice) o vetor normal degenerará, o que é esperado porque no vértice a superfície não tem um único vetor normal bem definido por essa parametrização.

Passo 5

Verificação de regularidade (importante em provas): calcular derivadas parciais
\mathbf{r}_{u}=\langle \cos v,\;\sin v,\;2u\rangle, \qquad \mathbf{r}_{v}=\langle -u\sin v,\;u\cos v,\;0\rangle.
O produto vetorial dá um vetor normal (não unitário):
\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} = \langle -2u^{2}\cos v,\;-2u^{2}\sin v,\;u\rangle.
O módulo é
\|\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\|=\sqrt{4u^{4}+u^{2}}=|u|\sqrt{4u^{2}+1}.
Logo a parametrização é regular sempre que u\neq 0. Em u=0 o produto vetorial é nulo, sinal de degenerescência do parâmetro no vértice (isso é normal para superfícies com vértice).
Breve explicação do que isso significa na prática: regularidade garante que localmente a parametrização descreve uma superfície suave (uma variedade) — útil se for necessário integrar ou achar normais.

Passo 6

Como esboçar a superfície (passo-a-passo prático para desenhar à mão na prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos cartesianos x,y,z com o eixo z vertical.
  2. Faça o gráfico da parábola z=r^{2} no plano y=0 (ou x=0): isso é a curva z=x^{2} no plano y=0. Essa é a “geratriz” que ao girar gera a superfície.
  3. Rode mentalmente essa parábola ao redor do eixo z — o resultado é o paraboloide circular z=x^{2}+y^{2}.
  4. Marque alguns níveis/círculos: por exemplo para u=0 a altura z=0 é o ponto origem; para u=1 tem um círculo de raio 1 em z=1; para u=2 tem um círculo de raio 2 em z=4. Desenhe esses círculos como linhas horizontais cada vez maiores à medida que z aumenta.
  5. Indique setas no sentido crescente de z (a superfície abre para cima) e, se quiser, uma seta azimutal para lembrar que v é o ângulo.
Dica de visualização rápida: é o mesmo formato de uma taça ou de uma parabólica de antena (mas suave e simétrica em torno do eixo z).

Passo 7

Algumas observações úteis para a prova (resumo e pontos para lembrar):
  • Relação implícita: \;z=x^{2}+y^{2}\;.
  • É um paraboloide de revolução (circular) com vértice em (0,0,0) e eixo de simetria igual ao eixo z.
  • Boa escolha de domínio para parametrização: u\in[0,\infty),\;v\in[0,2\pi).
  • A parametrização é regular para u\neq 0; no vértice u=0 há degenerescência do parâmetro.

Resposta

Superfície: paraboloide circular dado por z=x^{2}+y^{2} (vértice em (0,0,0), abre para z>0).
Esboço: obtém-se girando a parábola z=r^{2} em torno do eixo z; níveis z=0,1,4,\dots dão círculos de raios \sqrt{z} (ex.: u=0\to(0,0,0), u=1\to círculo de raio 1 em z=1, u=2\to círculo de raio 2 em z=4).

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