Identifique e esboce a superfície parametrizada por:
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede duas coisas: (1) identificar a superfície que essa parametrização descreve; (2) esboçar (desenhar) essa superfície. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As coordenadas cartesianas da superfície em função de
e são , , . - Os parâmetros naturais para
são ângulo circular (normalmente ); o parâmetro aparece tanto em como em e pode ser tomado inicialmente em (vou discutir escolhas de domínio mais apropriadas).
Passo 2
Achar uma relação entre
para identificar a superfície. A partir da parametrização:
Pelo terceiro componente temos
. Substituindo
em
obtemos a equação implícita
Essa é a equação clássica do paraboloide circular (paraboloide de revolução) com vértice na origem e abrindo no sentido positivo do eixo
.
Breve explicação do porquê: aqui
determina a altura
e também o quadrado do raio
. Para cada altura
a interseção com o plano
constante é um círculo de raio
.
Passo 3
Interpretação geométrica mais intuitiva (modo de pensar na prova):
- Pense em coordenadas cilíndricas: normalmente
, , . A parametrização dada tem exatamente , e . Ou seja, é a revolução da curva plana ao redor do eixo . - Para cada
fixo, variando obtém-se um círculo no plano com raio . Para cada fixo, variando obtém-se a curva no plano radial com ângulo fixo , que é a parábola vista nesse plano (um ramo parabólico que tem vértice na origem).
Dica prática para reconhecer superfícies: sempre tente eliminar os parâmetros e ver se dá uma relação simples entre
. Aqui resultou direto em
.
Passo 4
Domínio dos parâmetros e cobertura da superfície:
- Se tomarmos
e , obtemos uma parametrização que percorre cada ponto do paraboloide exatamente uma vez (exceto a borda que é o vértice). - Se permitirmos
, a parametrização cobre a mesma superfície duas vezes porque e produzem o mesmo e os mesmos : há a relação . Em provas geralmente escolhe-se para evitar essa redundância. - Observação sobre regularidade: a parametrização é regular para
(vou mostrar o cálculo no próximo passo). No ponto (o vértice) o vetor normal degenerará, o que é esperado porque no vértice a superfície não tem um único vetor normal bem definido por essa parametrização.
Passo 5
Verificação de regularidade (importante em provas): calcular derivadas parciais
O produto vetorial dá um vetor normal (não unitário):
O módulo é
Logo a parametrização é regular sempre que
. Em
o produto vetorial é nulo, sinal de degenerescência do parâmetro no vértice (isso é normal para superfícies com vértice).
Breve explicação do que isso significa na prática: regularidade garante que localmente a parametrização descreve uma superfície suave (uma variedade) — útil se for necessário integrar ou achar normais.
Passo 6
Como esboçar a superfície (passo-a-passo prático para desenhar à mão na prova):
- Desenhe um sistema de eixos cartesianos
com o eixo vertical. - Faça o gráfico da parábola
no plano (ou ): isso é a curva no plano . Essa é a “geratriz” que ao girar gera a superfície. - Rode mentalmente essa parábola ao redor do eixo
— o resultado é o paraboloide circular . - Marque alguns níveis/círculos: por exemplo para
a altura é o ponto origem; para tem um círculo de raio em ; para tem um círculo de raio em . Desenhe esses círculos como linhas horizontais cada vez maiores à medida que aumenta. - Indique setas no sentido crescente de
(a superfície abre para cima) e, se quiser, uma seta azimutal para lembrar que é o ângulo.
Dica de visualização rápida: é o mesmo formato de uma taça ou de uma parabólica de antena (mas suave e simétrica em torno do eixo
).
Passo 7
Algumas observações úteis para a prova (resumo e pontos para lembrar):
- Relação implícita:
. - É um paraboloide de revolução (circular) com vértice em
e eixo de simetria igual ao eixo . - Boa escolha de domínio para parametrização:
. - A parametrização é regular para
; no vértice há degenerescência do parâmetro.
Resposta
Superfície: paraboloide circular dado por
(vértice em
, abre para
).
Esboço: obtém-se girando a parábola em torno do eixo
; níveis
dão círculos de raios
(ex.:
,
círculo de raio
em
,
círculo de raio
em
).
Esboço: obtém-se girando a parábola