Questão 21 Se
é uma matriz inversível, mostre que
é o produto de matrizes elementares.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma matriz quadrada invertível de ordem
, então ela pode ser escrita como produto de matrizes elementares. O conteúdo que vamos usar é o da eliminação de Gauss (operações elementares de linha) e a relação entre operações de linha e matrizes elementares.
Passo 2
Como
é invertível, seu posto é
e podemos aplicar operações elementares de linha até transformá-la na matriz identidade
. Cada operação de linha corresponde à multiplicação à esquerda por uma matriz elementar. Logo, existem matrizes elementares
tais que, aplicando-as sequencialmente em
, obtemos
Passo 3
Da igualdade
seguimos que
Agora basta inverter ambos os lados:
Pela regra do inverso de um produto, isso dá
Passo 4
Falta notar que, para cada matriz elementar
, sua inversa
também é matriz elementar, pois toda operação de linha elementar é reversível por outra operação de linha elementar. Portanto cada
pertence ao mesmo conjunto de matrizes elementares.
Resposta
onde
são matrizes elementares.