Questão 21 Se A é uma matriz inversível, mostre que A é o produto de matrizes elementares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A é uma matriz quadrada invertível de ordem n, então ela pode ser escrita como produto de matrizes elementares. O conteúdo que vamos usar é o da eliminação de Gauss (operações elementares de linha) e a relação entre operações de linha e matrizes elementares.

Passo 2

Como A é invertível, seu posto é n e podemos aplicar operações elementares de linha até transformá-la na matriz identidade I_n. Cada operação de linha corresponde à multiplicação à esquerda por uma matriz elementar. Logo, existem matrizes elementares
E_{1},E_{2},\dots,E_{t}
tais que, aplicando-as sequencialmente em A, obtemos
E_{t}\,E_{t-1}\cdots E_{1}\,A = I_{n}.

Passo 3

Da igualdade
E_{t}\,E_{t-1}\cdots E_{1}\,A = I_{n}
seguimos que
E_{t}\,E_{t-1}\cdots E_{1} = A^{-1}.
Agora basta inverter ambos os lados:
A = \bigl(E_{t}\,E_{t-1}\cdots E_{1}\bigr)^{-1}.
Pela regra do inverso de um produto, isso dá
A = E_{1}^{-1}\,E_{2}^{-1}\cdots E_{t}^{-1}.

Passo 4

Falta notar que, para cada matriz elementar E_{i}, sua inversa E_{i}^{-1} também é matriz elementar, pois toda operação de linha elementar é reversível por outra operação de linha elementar. Portanto cada E_{i}^{-1} pertence ao mesmo conjunto de matrizes elementares.

Resposta

A = E_{1}^{-1}\,E_{2}^{-1}\cdots E_{t}^{-1},
onde E_{1}^{-1},E_{2}^{-1},\dots,E_{t}^{-1} são matrizes elementares.

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