Questão 19 Mostre que se
é inversível então
e
são matrizes inversíveis.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes quadradas
e
de mesma ordem, se o produto
é inversível então cada uma delas também é inversível. O conteúdo principal é o determinante de matrizes, sua propriedade de multiplicatividade e o critério de invertibilidade via determinante.
Passo 2
Recordemos o critério de invertibilidade: uma matriz quadrada
é inversível se, e somente se,
Como
é inversível, segue que
Passo 3
Pela propriedade de multiplicatividade do determinante, temos
Logo
implica
Passo 4
Pelo critério de invertibilidade,
e
garantem que tanto
quanto
são inversíveis.
Resposta
As matrizes
e
são inversíveis.