Questão 19 Mostre que se A B é inversível então A e B são matrizes inversíveis.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes quadradas A e B de mesma ordem, se o produto AB é inversível então cada uma delas também é inversível. O conteúdo principal é o determinante de matrizes, sua propriedade de multiplicatividade e o critério de invertibilidade via determinante.

Passo 2

Recordemos o critério de invertibilidade: uma matriz quadrada M é inversível se, e somente se,
\det M \neq 0.
Como AB é inversível, segue que
\det(AB)\neq 0.

Passo 3

Pela propriedade de multiplicatividade do determinante, temos
\det(AB)=\det A \cdot \det B.
Logo \det A\cdot\det B\neq0 implica
\det A\neq0 \quad\text{e}\quad \det B\neq0.

Passo 4

Pelo critério de invertibilidade, \det A\neq0 e \det B\neq0 garantem que tanto A quanto B são inversíveis.

Resposta

As matrizes A e B são inversíveis.

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