Questão 22. Qual é o maior dos números a=101^{50} e b=100^{50}+99^{50} ?

Passo 1

O enunciado pede para comparar os números
a = 101^{50} \quad\text{e}\quad b = 100^{50} + 99^{50}.
O conteúdo principal aqui é comparação de potências e uso de desigualdades (como a de Bernoulli) para estimar (1+x)^n e (1-x)^n.

Passo 2

Fatoramos 100^{50} em ambas as expressões:
a = 101^{50} = \bigl(100\cdot1{,}01\bigr)^{50} =100^{50}\,(1{,}01)^{50},
b = 100^{50} + 99^{50} =100^{50}\Bigl[\,1 + \bigl(0{,}99\bigr)^{50}\Bigr].

Passo 3

Aplicamos a desigualdade de Bernoulli nos dois fatores:
Para x>0 e inteiro n\ge2 vale
(1+x)^n \ge 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}\,x^2,
e para 0<x<1
(1-x)^n \le 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2}\,x^2.
Aqui usamos n=50, x=0{,}01 no primeiro caso e x=0{,}01 no segundo.

Passo 4

Calculamos os limites aproximados:
(1) Para (1{,}01)^{50},
(1{,}01)^{50} \ge 1 + 50\cdot0{,}01 + \frac{50\cdot49}{2}\,(0{,}01)^2 =1 + 0{,}5 + 1225\cdot0{,}0001 =1 + 0{,}5 + 0{,}1225 =1,6225.
(2) Para (0{,}99)^{50},
(0{,}99)^{50} = (1-0{,}01)^{50} \le 1 - 50\cdot0{,}01 + \frac{50\cdot49}{2}\,(0{,}01)^2 =1 - 0{,}5 + 0{,}1225 =0,6225.

Passo 5

Com isso:
a = 100^{50}\,(1{,}01)^{50} > 100^{50}\times1{,}6225,
b = 100^{50}\Bigl[\,1 + (0{,}99)^{50}\Bigr] < 100^{50}\times(1 + 0{,}6225) =100^{50}\times1{,}6225.
Logo a > b.

Resposta

O maior dos dois números é
\boxed{101^{50}}.

Exercícios relacionados