Questão 22 Se X é um conjunto infinito enumerável e A=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}\right\} \subset X, usando apenas as definições de conjuntos finitos e enumeráveis, mostre que X-A é também enumerável.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Informações dadas:
    • X é um conjunto infinito enumerável.
    • A=\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}\subset X é um conjunto finito com exatamente n elementos.
  • O que é pedido:
    • Mostrar que X-A é enumerável (isto é, que existe uma enumeração de X-A por números naturais).
Vou seguir apenas as definições de conjunto finito e enumerável, sem usar teoremas prontos além dessas definições.

Passo 2

Recordando as definições que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Dizemos que um conjunto Y é enumerável (ou denumerável) se existe uma bijeção f:\mathbb{N}\to Y. Aqui \mathbb{N} é o conjunto dos números naturais 1,2,3,\dots. A bijeção significa que f é injetora (valores diferentes de \mathbb{N} dão elementos diferentes de Y) e sobrejetora (todo elemento de Y aparece como f(k) para algum k\in\mathbb{N}).
  • Dizemos que um conjunto B é finito se existe n\in\mathbb{N} tal que existe uma bijeção entre B e \{1,2,\dots,n\}. No problema foi dado que A tem exatamente n elementos e já foi escrita como \{a_1,\dots,a_n\}.
Essas duas definições são tudo o que usaremos explicitamente.

Passo 3

Como X é enumerável e infinito, existe uma bijeção
f:\mathbb{N}\to X.
Isto nos fornece uma “lista” de todos os elementos de X:
f(1),\; f(2),\; f(3),\; \dots
essa sequência contém cada elemento de X exatamente uma vez.
Nota intuitiva: alguns desses f(k) podem coincidir com os elementos a_1,\dots,a_n de A; outros não. Vamos eliminar da lista todos os elementos que pertencem a A e mostrar que o que sobra ainda é uma enumeração (ou seja, pode ser colocada em bijeção com \mathbb{N}).

Passo 4

Identificamos os índices onde aparecem os elementos de A na enumeração f. Como A\subset X e f é sobrejetora, para cada i\in\{1,\dots,n\} existe pelo menos um índice p_i\in\mathbb{N} tal que
f(p_i)=a_i.
Como os a_i são elementos distintos (são os n elementos dados de A), os índices p_1,\dots,p_n são n números naturais distintos. Assim definimos o conjunto finito de índices
P=\{p_1,p_2,\dots,p_n\}\subset\mathbb{N}.
Observação importante: cada elemento de A aparece em algum lugar da lista f(1),f(2),\dots, então todos os p_i existem; e há apenas finitamente muitos desses índices porque A é finito.

Passo 5

Agora consideremos os números naturais que não pertencem a P. O conjunto \mathbb{N}\setminus P é infinito (porque \mathbb{N} é infinito e remover um conjunto finito de índices deixa um conjunto infinito). Ordenando esses naturais em ordem crescente, obtemos uma sequência estritamente crescente de índices:
m_1<m_2<m_3<\cdots
onde cada m_k\in\mathbb{N}\setminus P e a sequência percorre todos os elementos de \mathbb{N}\setminus P (isto é, m_1 é o menor natural fora de P, m_2 é o segundo menor fora de P, e assim por diante). A existência dessa sequência é trivial: basta escolher o menor natural não em P para m_1, depois o menor maior que m_1 não em P para m_2, etc.; como \mathbb{N}\setminus P é infinito esse procedimento continua indefinidamente.

Passo 6

Definimos a função
g:\mathbb{N}\to X-A
por
g(k)=f(m_k).
Explicando: escolhemos apenas os termos da lista f(1),f(2),\dots cujos índices não estão em P, ou seja, pulamos os termos que correspondem a elementos de A. Como m_k\notin P, tem-se f(m_k)\notin A, logo g(k)\in X-A. Assim g está bem definida com imagem contida em X-A.

Passo 7

Mostro que g é sobrejetora em X-A (ou seja, que para todo y\in X-A existe k com g(k)=y):
Se y\in X-A, então y\in X mas y\notin A. Como f é sobrejetora em X, existe t\in\mathbb{N} tal que f(t)=y. Como y\notin A, o índice t não pertence a P. Logo t\in\mathbb{N}\setminus P. Pela definição dos m_k (que enumeram todos os elementos de \mathbb{N}\setminus P em ordem), existe k tal que m_k=t. Então g(k)=f(m_k)=f(t)=y. Assim todo y\in X-A é atingido por g. Conclusão: g é sobrejetora.

Passo 8

Mostro que g é injetora (ou seja, valores g(k) distintos para k distintos):
Suponha g(k_1)=g(k_2). Isso significa f(m_{k_1})=f(m_{k_2}). Como f é injetora (é bijeção), temos m_{k_1}=m_{k_2}. Mas a sequência m_1<m_2<\cdots tem termos estritamente crescentes, então m_{k_1}=m_{k_2} implica k_1=k_2. Portanto g é injetora.

Passo 9

Como g é injetora e sobrejetora, g é bijeção entre \mathbb{N} e X-A. Pela definição de enumerável (existe bijeção \mathbb{N}\to conjunto), concluímos que X-A é enumerável.
Interpretando em palavras: a enumeração original de X tinha os elementos de A espalhados em posições finitas; ao simplesmente ignorar essas posições obtemos uma enumeração completa e sem repetições de X-A.

Passo 10

Comentário final de incentivo: deu trabalho listar as etapas, mas a ideia é simples e muito útil em provas — remover um número finito de elementos de um conjunto enumerável deixa o conjunto ainda enumerável. Agora você consegue reaplicar esse argumento sempre que precisar!

Resposta

X-A é enumerável.

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