Questão 24 Se X \subset \mathbb{R} é um conjunto enumerável, mostre que
X_{1}={x+y ; x, y \in X} \text { é enumerável. }éá

Passo 1

O enunciado dá que X\subset\mathbb{R} é um conjunto enumerável e pede para mostrar que
X_{1}=\{x+y \;:\; x,y\in X\}
é enumerável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • X é enumerável (isto significa que é finito ou numerável infinito).
  • Deve-se provar que o conjunto de todas as somas de dois elementos de X também é enumerável.

Passo 2

Vou lembrar exatamente o que significa “enumerável” (para a gente não tropeçar nas palavras). Dizemos que um conjunto A é enumerável quando ele é finito ou existe uma enumeração infinita sem repetições, isto é, existe uma bijeção entre A e \mathbb{N} (quando é infinito) ou então A tem fimito número de elementos. Em termos práticos: enumerável = dá para listar seus elementos em uma sequência \,a_1,a_2,a_3,\dots possivelmente terminando se for finito.
Estratégia geral (sem resolver ainda): tratar separadamente o caso finito e o caso infinito numerável; no caso infinito, usar que produto de conjuntos enumeráveis é enumerável (em particular \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável) e que a imagem de um conjunto enumerável por uma função é enumerável.

Passo 3

Caso simples: X é finito.
Se X tem n elementos então X\times X tem n^2 elementos e, portanto, o conjunto de somas X_1\subset\mathbb{R} é subconjunto de um conjunto finito, logo é finito e, portanto, enumerável. Concluímos o caso finito. Agora vamos ao caso mais interessante: X é infinito enumerável.

Passo 4

Se X é infinito enumerável, existe uma enumeração
X=\{x_1,x_2,x_3,\dots\},
ou seja, uma bijeção \varphi:\mathbb{N}\to X dada por \varphi(n)=x_n. Vou usar essa enumeração para construir enumerações para conjuntos relacionados. Primeiro mostro que X\times X é enumerável.
Explicação/lembrança didática: já se conhece que \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável — uma forma intuitiva é a enumeração diagonal:
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),\dots
em que se percorrem as diagonais \{(i,j):i+j=\text{constante}\}. Isso dá uma sequência que lista todos os pares (i,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} sem repetição. Outra forma é usar a função de Cantor, mas a ideia geométrica da diagonal é suficiente e mais intuitiva.
Como existe bijeção \varphi:\mathbb{N}\to X, a aplicação \varphi\times\varphi:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to X\times X dada por (m,n)\mapsto(x_m,x_n) é bijetora. Assim, como \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável, segue que X\times X também é enumerável. Ou seja, existe uma enumeração
X\times X=\{(x_{i_1},x_{j_1}), (x_{i_2},x_{j_2}), (x_{i_3},x_{j_3}),\dots\}.

Passo 5

Agora passo à função soma. Defina S:X\times X\to\mathbb{R} por
S(x,y)=x+y.
O conjunto X_1 é exatamente a imagem de S, isto é, X_1=S(X\times X). Como X\times X é enumerável e S é uma aplicação (qualquer aplicação), a imagem S(X\times X) é enumerável. Vou explicar por que a imagem de um conjunto enumerável é enumerável (essa é uma propriedade importante e que costuma cair em prova).

Passo 6

Prova de que imagem de conjunto enumerável é enumerável (procedimento construtivo): seja A enumerável e f:A\to B qualquer função. Se A é finito, f(A) é finito e pronto. Se A é numerável infinito, temos enumeração A=\{a_1,a_2,a_3,\dots\}. Então os elementos de f(A) aparecem entre os termos da sequência (f(a_n))_{n\ge1}. Para listar f(A) sem repetições, fazemos o seguinte procedimento: percorre a sequência f(a_1),f(a_2),\dots e ao encontrar um valor novo (ainda não listado) adiciona-o na lista de imagem; ao encontrar um valor que já apareceu, ignora. Como todo elemento de f(A) é da forma f(a_k) para algum k, cada elemento de f(A) eventualmente aparecerá e será listado. Assim obtemos uma sequência sem repetições que enumera f(A). Logo f(A) é finito ou numerável infinito; em qualquer caso é enumerável. Aplicando isso a A=X\times X e f=S obtemos que X_1=S(X\times X) é enumerável.

Passo 7

Resumo construtivo final (versão prática para prova): se X=\{x_1,x_2,\dots\} então enumere os pares (i,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} pela diagonal e escreva a sequência correspondente de somas
x_{i_1}+x_{j_1},\; x_{i_2}+x_{j_2},\; x_{i_3}+x_{j_3},\dots
pulando repetições quando necessário. Essa sequência lista todos os elementos de X_1. Assim X_1 é enumerável. (Se X for finito, o argumento é ainda mais simples: X_1 é subconjunto de um conjunto finito e, portanto, finito.)

Resposta

X_{1} é enumerável.

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