Questão 23 Dada a matriz \operatorname{adj}(A)=\left(\begin{array}{rcr}4 & -8 & 4 \\\\ -7 & 9 & -5 \\\\ -6 & 10 & k\end{array}\right) e \operatorname{det}(A)=-4, ache k.

Passo 1

O enunciado fornece \operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}4 & -8 & 4 \\\\ -7 & 9 & -5 \\\\ -6 & 10 & k\end{pmatrix} e \det(A)=-4. Precisamos determinar k usando propriedades de determinantes e da matriz adjunta em matrizes 3\times3.

Passo 2

Em geral, se A é uma matriz n\times n, vale
\det(\operatorname{adj}(A)) = \det(A)^{\,n-1}.
Aqui n=3 e \det(A)=-4, logo
\det(\operatorname{adj}(A)) = (-4)^{2} = 16.

Passo 3

Vamos calcular \det(\operatorname{adj}(A)) diretamente em função de k. Expandindo pelo método de Laplace:
\det(\operatorname{adj}(A)) = 4\bigl(9k - (-5)\cdot10\bigr) - (-8)\bigl((-7)k -(-5)\cdot(-6)\bigr) +4\bigl((-7)\cdot10 -9\cdot(-6)\bigr).
Calculando cada parte:
4(9k+50) \;+\;8(-7k-30)\;+\;4(-70+54) =36k+200 -56k-240 -64 =-20k -104.

Passo 4

Igualando ao valor conhecido:
-20k -104 = 16,
o que implica
-20k = 120 \quad\Longrightarrow\quad k = -6.

Resposta

-6

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