Questão 23

O nível d’água é controlado por uma comporta plana de espessura uniforme. A largura da comporta, normal ao plano da figura, é \mathrm{w}=10 \mathrm{ft}. Determine a massa M necessária para manter o nível à profundidade H , ou menos, se a massa da comporta for desconsiderada. Resposta: M \approx 340 slug

Passo 1

O enunciado (imagem) nos dá os seguintes dados (peguei esses valores da figura enviada):
  • largura da comporta (normal ao plano da figura): w=10\\ \text{ft}.
  • profundidade vertical do nível de água até a borda inferior da comporta: H=4\\ \text{ft}.
  • ao longo da superfície inclinada da comporta estão indicados dois comprimentos que somam a placa inteira: R=7{,}5\\ \text{ft} (distância ao longo da placa desde o topo até a articulação/apoio) e r=2{,}5\\ \text{ft} (distância ao longo da placa desde a articulação até a ponta inferior). Logo o comprimento total da placa é L=R+r=10\\ \text{ft}.
  • a massa M está presa na ponta inferior da comporta e age verticalmente (peso W=M g). A massa da comporta é desprezada.
  • queremos achar a massa M necessária para manter a comporta fechada (equilíbrio de momento sobre a articulação).
O que devemos fazer: calcular a resultante hidrostática sobre a placa plana inclinada (módulo e linha de ação), calcular o momento dessa resultante em torno da articulação, igualar esse momento ao momento produzido pelo peso W=M g aplicado na ponta, e resolver para M.

Passo 2

Relembre (aula curta e concreta): pressão hidrostática em profundidade vertical y é
p(y)=\gamma\,y,
onde \gamma é o peso específico da água. Vou usar \gamma=62{,}4\\ \text{lbf/ft}^3 (valor padrão).
Para uma placa plana inclinada de largura w e comprimento L, tome a coordenada s medida ao longo da placa desde o topo ( s=0 no topo, s=L na ponta inferior). A profundidade vertical de um elemento na posição s é
y(s)=s\sin\varphi,
onde \varphi é o ângulo da placa com a horizontal. Note que \sin\varphi=H/L porque a projeção vertical da placa é H. Assim
\sin\varphi=\frac{H}{L}=\frac{4}{10}=0{,}4.
Um elemento de área (faixa) de comprimento ds e largura w tem força elementar
dF=p(y)\,w\,ds=\gamma\,y(s)\,w\,ds=\gamma\,w\sin\varphi\,s\,ds.

Passo 3

Cálculo da resultante hidrostática F (módulo): integrar dF de s=0 até s=L:
F=\int_0^L dF=\gamma\,w\sin\varphi\int_0^L s\,ds =\gamma\,w\sin\varphi\cdot\frac{L^2}{2}.
Substituindo valores ( \gamma=62{,}4\\ \text{lbf/ft}^3,\\ w=10\\ \text{ft},\\ \sin\varphi=0{,}4,\\ L=10\\ \text{ft}):
F=62{,}4\cdot10\cdot0{,}4\cdot\frac{10^2}{2} =62{,}4\cdot10\cdot0{,}4\cdot50 =12480\\ \text{lbf}.
Observação pedagógica: a força total cresce com a área e com a profundidade média (aqui já embutida na integral).

Passo 4

Localização da resultante ao longo da placa (posição do centro de pressão medida a partir do topo):
s_R=\frac{1}{F}\int_0^L s\,dF =\frac{1}{F}\int_0^L s\big(\gamma w\sin\varphi\,s\,ds\big) =\frac{\gamma w\sin\varphi}{F}\int_0^L s^2\,ds =\frac{\gamma w\sin\varphi}{F}\cdot\frac{L^3}{3}.
Usando a expressão de F do passo anterior simplifica-se para
s_R=\frac{2}{3}L.
Com L=10\\ \text{ft} obtemos
s_R=\frac{2}{3}\cdot 10=6{,}6667\\ \text{ft}
a partir do topo (ou seja, a resultante atua a 6{,}6667\\ \text{ft} do topo ao longo da placa).

Passo 5

Momento da resultante em torno da articulação (hinge). A articulação está localizada a uma distância s_h do topo igual a R=7{,}5\\ \text{ft}. A linha de ação da força hidrostática é normal à placa; o braço de alavanca (perpendicular) entre a articulação e a linha de ação é simplesmente a diferença ao longo da placa:
d = s_h - s_R = 7{,}5 - 6{,}6667 = 0{,}83333\\ \text{ft}.
(O motivo geométrico: a resultante é normal à placa, assim o menor braço perpendicular, medido no plano da placa, é a diferença de coordenadas ao longo da placa.) Portanto o momento que tende a abrir a comporta (em torno da articulação) é
M_{\text{hid}}=F\cdot d =12480\cdot0{,}83333=10400\\ \text{lbf}\cdot\text{ft}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Momento causado pelo peso W=M g da massa M pendurada na ponta inferior da placa. A ponta está em s=L; a distância ao longo da placa desde a articulação até a ponta é L-s_h=r=2{,}5\\ \text{ft}. A linha de ação do peso é vertical; o braço perpendicular (distância horizontal no plano) entre a articulação e o peso é a componente horizontal desse trecho:
\text{braço do peso}= (L-s_h)\cos\varphi = r\cos\varphi.ç
Calcule \cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}=\sqrt{1-0{,}4^2}=\sqrt{0{,}84}=0{,}916515\ldots Logo
\text{braço do peso}=2{,}5\cdot0{,}916515\approx2{,}29129\\ \text{ft}.ç
O momento devido ao peso (tendendo a fechar a comporta) é
M_{\text{peso}}=W\cdot(2{,}29129)=M g\cdot2{,}29129.

Passo 7

Equilíbrio de momentos (momento do peso fecha a comporta e deve igualar o momento hidrostático que abre):
M g\cdot 2{,}29129 = 10400\\ \text{lbf}\cdot\text{ft}.
Isolando M,
M=\frac{10400}{g\cdot2{,}29129}.
Usando g=32{,}174\\ \text{ft/s}^2,
M=\frac{10400}{32{,}174\cdot2{,}29129}\approx141{,}1\\ \text{slug}.
Interpretação: isso significa que uma massa de aproximadamente 141{,}1 slugs (peso aproximado M g\approx4540\\ \text{lbf}) é necessária para gerar o momento que equilibra o esforço hidrostático calculado.

Resposta

M \approx 141{,}1\\ \text{slug}

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